Nachfrage und Preiselastizität mit Regression modellieren

Der Hamper, der mir seinen Preis nicht verraten wollte

Der Afternoon Tea Hamper ist das stille Arbeitspferd von The Gift Bow, meinem Solidus Demoshop auf hampers.keferboeck.com. Er verkauft sich das ganze Jahr und steht so lange bei £49, dass sich der Preis wie ein Naturgesetz anfühlt. Im letzten Frühjahr wollte ich wissen, ob er £54 kosten sollte. Mein Marketinginstinkt sagte das Gegenteil: runter auf £45, mehr verkaufen, die Geschenkkäuferin gewinnen, die gerade fünf Tabs vergleicht. Mein Finanzinstinkt sagte rauf, die Marge ist dünn, sobald der Kurier bezahlt ist. Beide Instinkte raten über dieselbe unbekannte Zahl: wie viele Hamper ich pro zusätzlichem Pfund verliere.

Die gute Nachricht: Der Shop hatte das Experiment schon für mich gemacht, schlecht und aus Versehen. Im Jahr davor hatte sich der Preis sieben Mal bewegt, zwischen £39 in einem Jänner Abverkauf und £59 im Vorlauf auf Weihnachten. Es gab elf Aktionswochen mit einem Gratisversand Code, sechs Wochen Weihnachtstrubel und einen Mitbewerber, dessen vergleichbarer Korb zwischen £52 und £58 herumwanderte. Zweiundfünfzig Wochen mit Preis, Stückzahl und Kontext: genau das Rohmaterial, das eine Regression braucht. Dieses Kapitel macht daraus eine Zahl, die du in einer Besprechung verteidigen kannst, die Preiselastizität der Nachfrage. Die Zahlen sind illustrativ, die Methode ist die, die ich wirklich einsetze.

Wo dieses Kapitel in der Serie steht

Das ist Kapitel 4 von 21 und das erste von Teil zwei, den Techniken mit abhängiger Variable, die von hier bis Kapitel 10 reichen. Teil eins hat gefragt, wofür Analytics überhaupt da ist, und endete mit Was ist ein Insight, und warum die meisten Reports keinen enthalten, wo ich argumentiert habe, dass ein Insight eine Entscheidung verändern muss. Dieses Kapitel ist die erste Methode, die verlässlich einen liefert. Das nächste Kapitel, Polynomial Distributed Lags: wie lange wirkt Marketing nach?, behält dieselbe Regressionsmaschinerie und fügt die Zeit hinzu, weil eine Anzeige von dieser Woche nächsten Monat noch Hamper verkauft.

Zwei Familien von Techniken, und die Frage, die sie trennt

Fast jede Methode in Marketing Analytics gehört zu einer von zwei Familien, und die Sortierfrage lautet: Gibt es eine Variable, die du erklären willst?

Wenn ja, bist du in der Familie der abhängigen Variable. Verkaufte Stück, Umsatz, Kündigungen, ob ein Trial konvertiert, wie viele Nächte ein Gast bucht: etwas auf der linken Seite einer Gleichung, von dem du glaubst, dass es zumindest teilweise von den Dingen rechts verursacht wird. Regression, logistische Regression, Survival Modelle und ihre Verwandten wohnen hier, und dieser ganze Teil der Serie auch.

Wenn nein, bist du in der Familie der Interrelationen: kein Ziel, nur Struktur, etwa welche Kunden einander ähneln oder welche Produkte im selben Warenkorb landen. Segmentierung und Faktorenanalyse wohnen dort, und dazu kommen wir in Teil drei.

Innerhalb der ersten Familie gibt es eine zweite Unterscheidung. Manche Gleichungen sind deterministisch: Umsatz ist Preis mal Stück, immer und exakt, nichts zu schätzen. Andere sind probabilistisch: Die Stückzahl dieser Woche hängt von Preis, Aktion und Saison ab, plus etwas, das wir nicht gemessen haben. Dieses Etwas ist der Fehlerterm, und ihn in die Gleichung zu schreiben ist das ehrliche Eingeständnis, dass das Modell eine Vereinfachung ist. Jede Technik in diesem Teil der Serie schätzt eine probabilistische Gleichung und sagt dann, wie falsch sie sein könnte. Eine Nachfrageprognose ohne Fehlermarge hat entweder die Unsicherheit versteckt oder eine deterministische Identität als Modell ausgegeben.

Kleinste Quadrate, das Arbeitspferd

Das Nachfragemodell für einen Hamper sieht in seiner einfachsten linearen Form so aus:

$$Q_t = \beta_0 + \beta_1 P_t + \beta_2 D_t + \beta_3 S_t + \beta_4 C_t + \varepsilon_t$$

$Q_t$ ist die Anzahl verkaufter Hamper in Woche $t$. $P_t$ ist unser Preis in dieser Woche. $D_t$ ist eine Aktionsvariable, 1 wenn ein Rabatt oder Gratisversand Code aktiv war und sonst 0. $S_t$ ist eine Saisonvariable, 1 in den sechs Weihnachtswochen. $C_t$ ist der Preis des Mitbewerbers. Die Betas sind die Unbekannten, die wir wollen: $\beta_0$ ist die Basis, $\beta_1$ die Veränderung der Wochenstückzahl pro zusätzlichem Pfund Preis, und so weiter. $\varepsilon_t$ ist der Fehlerterm, alles an Woche $t$, was das Modell nicht weiss.

Die Methode der kleinsten Quadrate, englisch ordinary least squares oder OLS, wählt die Betas so, dass die vorhergesagten Stückzahlen über alle 52 Wochen so nah wie möglich an den tatsächlichen liegen, wobei "nah" die Summe der quadrierten Abweichungen meint:

$$\min_{\beta_0,\ldots,\beta_4} \; \sum_{t=1}^{n} \left( Q_t - \hat{Q}_t \right)^2$$

$\hat{Q}_t$ ist die Vorhersage des Modells für Woche $t$ und $n$ die Anzahl der Wochen. Das Quadrieren verhindert, dass sich positive und negative Abweichungen aufheben, und bestraft eine riesige Abweichung stärker als mehrere kleine. Deine Software findet die Lösung in einer Millisekunde, und die Methode ist seit zweihundert Jahren der Standard, weil sie einfach, transparent und, wenn ihre Annahmen halten, der beste lineare Schätzer ist, den es gibt.

Zurück kommt eine Tabelle, und diese Tabelle zu lesen ist die eigentliche Fähigkeit. Der Koeffizient ist die Schätzung selbst: minus 1,95 würde heissen, jedes zusätzliche Pfund kostet etwa zwei Hamper pro Woche. Der Standardfehler ist die Unsicherheit darum herum, der typische Abstand zwischen dieser Schätzung und der, die ein anderes Jahr desselben Shops liefern würde. Die t Statistik ist der Koeffizient geteilt durch seinen Standardfehler; bei gut 50 Wochen heisst ein absolutes t über etwa 2, dass das Vorzeichen wahrscheinlich kein Zufall ist. R Quadrat sagt, wie viel der Schwankung der Stückzahlen von Woche zu Woche das Modell erklärt:

$$R^2 = 1 - \frac{\sum_{t} \left( Q_t - \hat{Q}_t \right)^2}{\sum_{t} \left( Q_t - \bar{Q} \right)^2}$$

Der Zähler ist das, was das Modell unerklärt lässt, der Nenner die Gesamtschwankung um den Mittelwert $\bar{Q}$, und der Quotient ist der Anteil, der noch fehlt. Ein R Quadrat von 0,81 heisst, das Modell erklärt 81 Prozent des Auf und Ab. Es heisst nicht, dass das Modell richtig ist; ein hohes R Quadrat mit einem unsinnigen Koeffizienten ist schlimmer als ein niedriges mit einem vernünftigen. Und schliesslich die Residuen, die Abweichungen Woche für Woche. Zeichne sie gegen die Zeit und gegen den Preis. Zufallsrauschen ist gut. Trend, Klumpen oder Trichter heissen, dem Modell fehlt etwas, und die Standardfehler lügen dich an.

Vom Koeffizienten zur Elastizität

Ein Koeffizient von minus 1,95 Hamper pro Pfund ist nützlich für diesen Hamper und nutzlos für den Vergleich mit einem Werkbank Tarif um €120 oder einem Hotelzimmer um €190. Die Elastizität löst das, indem sie beide Seiten in Prozent ausdrückt: die prozentuale Änderung der Menge bei einer Preisänderung von einem Prozent.

$$\eta = \frac{\partial Q}{\partial P} \cdot \frac{P}{Q}$$

$\eta$ ist die Elastizität, $\partial Q / \partial P$ die Steigung der Nachfrage nach dem Preis, im linearen Modell einfach $\beta_1$, und $P/Q$ skaliert sie von Pfund und Hampern in Prozent um. Weil sich $P/Q$ entlang der Nachfragegeraden ändert, ist die Elastizität eines linearen Modells bei jedem Preis anders, darum wertet man sie per Konvention an den Mittelwerten aus. Mit einem $\beta_1$ von minus 1,95, einem Durchschnittspreis von £49 und durchschnittlich 60 verkauften Hampern pro Woche ergibt das minus 1,95 mal 49 geteilt durch 60, also minus 1,59. Ein Prozent Preiserhöhung kostet etwa 1,6 Prozent Menge. Die Nachfrage ist elastisch, also absolut grösser als eins, und diese eine Tatsache treibt alles, was in der Preisdiskussion folgt.

Wenn du die Intuition hinter der Zahl ohne Algebra willst, habe ich sie in Preiselastizität einfach erklärt aufgeschrieben; dieses Kapitel ist der Teil, in dem wir sie tatsächlich schätzen.

Das Log Log Modell: ein Koeffizient, eine Elastizität

Das lineare Modell gibt dir eine Elastizität, die davon abhängt, wo du stehst. Für Pricing Arbeit greife ich meistens zuerst zu einer anderen Funktionsform, weil sie die Elastizität zu dem macht, was du direkt schätzt. Nimm den Logarithmus der Menge und jedes Preises:

$$\ln Q_t = \alpha + \eta \ln P_t + \gamma_1 D_t + \gamma_2 S_t + \theta \ln C_t + \varepsilon_t$$

$\ln$ ist der natürliche Logarithmus, $\alpha$ die Konstante, und $\eta$, der Koeffizient am logarithmierten Preis, ist jetzt die Eigenpreiselastizität selbst, konstant auf jedem Preisniveau. Der Trick: Eine kleine Änderung im Logarithmus einer Variable ist eine prozentuale Änderung, also ist eine Regression von Log auf Log eine Regression von Prozenten auf Prozente. $\theta$ ist die Kreuzpreiselastizität, die prozentuale Änderung unserer Stückzahl bei einem Prozent Preisänderung des Mitbewerbers, bei einem Substitut positiv. Die Dummies $D_t$ und $S_t$ bleiben, wie sie waren, also sind $\gamma_1$ und $\gamma_2$ näherungsweise prozentuale Effekte; der exakte Effekt ist $e^{\gamma} - 1$.

Das Log Log Modell hat einen Preis, auf den ich bei den Fallen zurückkomme: Es unterstellt konstante Elastizität, und die Nachfrage hält sich selten über den ganzen Preisbereich daran. Als erste Schätzung auf einem Jahr Shopdaten ist es trotzdem schwer zu schlagen.

Das Rechenbeispiel: 52 Wochen Afternoon Tea Hamper

Hier ist der Output des Log Log Modells auf dem Jahr Gift Bow Daten: 52 Wochenbeobachtungen, Preis zwischen £39 und £59 auf sieben verschiedenen Stufen, elf Aktionswochen, sechs Weihnachtswochen ab Mitte November, Mitbewerberpreis jeden Montag abgefragt.

Term	Koeffizient	Standardfehler	t Statistik
Konstante	8,31	1,92	4,3
ln Preis (eigener)	minus 1,61	0,24	minus 6,7
Aktionswoche (0/1)	0,28	0,09	3,1
Weihnachtswoche (0/1)	0,74	0,12	6,2
ln Mitbewerberpreis	0,52	0,31	1,7

n = 52 Wochen, R Quadrat 0,81, adjustiertes R Quadrat 0,79, Residuenstandardfehler 0,14 in Log Einheiten, also grob 14 Prozent typische Abweichung.

Zeile für Zeile gelesen. Die Konstante ist der Logarithmus der Stückzahl bei einem Preis von £1 und einem Mitbewerber bei £1; sie hat keine geschäftliche Bedeutung und ich ignoriere sie. Der eigene Preiskoeffizient ist die Schlagzeile: Elastizität minus 1,61, Standardfehler 0,24, der plausible Bereich liegt also grob zwischen minus 1,1 und minus 2,1, und die t Statistik von minus 6,7 sagt, am Vorzeichen gibt es keinen Zweifel. Ob es minus 1,2 oder minus 2,0 ist, macht für das Pricing einen grossen Unterschied, und ein Jahr Daten nagelt das nicht enger fest.

Aktion mit 0,28 heisst, eine Gratisversand Woche hebt die Stückzahl um etwa 32 Prozent, weil $e^{0.28}$ gleich 1,32 ist, bei konstantem Preis; das ist der Effekt des Codes zusätzlich zur Preissenkung, mit der er meistens einhergeht, und darum gehört der Preis ins selbe Modell. Weihnachten mit 0,74 ist ein Plus von 110 Prozent, die Nachfrage verdoppelt sich, und das t von 6,2 macht es zur sichersten Zahl in der Tabelle. Beim Mitbewerberkoeffizienten heisst es aufpassen: 0,52 sagt, zehn Prozent mehr Preis bei ihnen bringen uns etwa fünf Prozent mehr Stück, das richtige Vorzeichen für ein Substitut, aber bei einem t von 1,7 würde ich auf die Grösse nicht wetten. Die Mitbewerberpreise haben sich im Jahr kaum bewegt, also steckt dort wenig Information, und der Standardfehler sagt das ehrlich.

Die Grafik zeigt dasselbe Modell als Nachfragekurve: beobachtete durchschnittliche Wochenstückzahl je Preispunkt als Balken, die Vorhersage des Modells als Linie, nur gewöhnliche Wochen.

Beobachtete durchschnittliche Wochenstückzahl (Balken) gegen die geschätzte Log Log Nachfragekurve (Linie), nur Basiswochen. Illustrative Daten.

Die Kurve ist am unteren Ende steiler und am oberen flacher. So sieht konstante Elastizität in Stück aus: Derselbe prozentuale Verlust pro Prozent Preiserhöhung bedeutet weniger absolute Hamper, je höher der Preis klettert.

Umsatz, Deckungsbeitrag und der Preis, der sich rechnet

Jetzt der Teil, den die Besprechung eigentlich will. Umsatz ist Preis mal Stück, also ist der Effekt einer kleinen Preiserhöhung auf den Umsatz:

$$\frac{dR}{dP} = Q + P \frac{dQ}{dP} = Q \left( 1 + \eta \right)$$

$R$ ist der Umsatz, der Rest wie zuvor. Der Umsatz steigt mit dem Preis, solange $1 + \eta$ positiv ist, also solange die Nachfrage unelastisch ist, und fällt, sobald es negativ wird. Das Umsatzmaximum liegt genau dort, wo $\eta = -1$. Bei einer Elastizität von minus 1,6 sagt uns diese Bedingung, dass wir am Umsatzgipfel vorbei sind: Jede Preiserhöhung kostet Umsatz, jede Senkung bringt welchen. Nachlässig gelesen sagt das Modell: Preis senken.

Sorgfältig gelesen sagt es das keineswegs, aus zwei Gründen. Erstens hat ein Modell mit konstanter Elastizität von minus 1,6 nirgends einen Umsatzgipfel: Es sagt senken, und weiter senken, bis zu einem Preis von null, und das ist eine Eigenschaft der Funktionsform, nicht der Hamper. Die lineare Variante hat einen Gipfel bei $P^* = -\beta_0 / (2 \beta_1)$, was mit meinen linearen Koeffizienten bei etwa £40 landet. Zwei vernünftige Modelle, zwei umsatzmaximierende Preise, und die ehrliche Schlussfolgerung ist, dass ein aus einem Jahr Daten geschätzter Umsatzgipfel weich ist.

Zweitens, und wichtiger: Niemand sollte den Umsatz maximieren. Ein Hamper kostet mich im Verkauf etwa £19: Waren, Schachtel, Band und Kurier. Der Deckungsbeitrag zahlt die Rechnungen, und der deckungsbeitragsmaximierende Preis bei konstanter Elastizität ist eine saubere Regel:

$$P^* = c \cdot \frac{\eta}{1 + \eta}$$

$c$ sind die variablen Kosten pro Stück und $\eta$ die Elastizität. Mit £19 und minus 1,61 ergibt das 19 mal 1,61 geteilt durch 0,61, etwa £50. Hier ist dieselbe Geschichte als Preisleiter, mit den geschätzten Stückzahlen aus dem Modell.

Preis	Modellstück pro Woche	Umsatz	Deckungsbeitrag bei £19 Kosten
£39	87	£3.393	£1.740
£42	77	£3.234	£1.771
£45	69	£3.105	£1.794
£49	60	£2.940	£1.800
£52	55	£2.860	£1.815
£55	50	£2.750	£1.800
£59	45	£2.655	£1.800

Der Umsatz fällt die ganze Leiter hinunter, wie es die Elastizität vorausgesagt hat. Der Deckungsbeitrag ist von £45 bis £59 fast flach, mit einer sanften Kuppe um £50 bis £52. Diese Flachheit ist das eigentliche Ergebnis. Der Shop steht nahe der Spitze eines breiten Hügels, und die Frage £49 oder £54 ist in beide Richtungen etwa £15 pro Woche wert, tief innerhalb des Modellfehlers. Der Marketinginstinkt, auf £45 zu senken, hätte Deckungsbeitrag gekostet, für das Vergnügen von mehr Paketen. Der Finanzinstinkt, auf £54 zu gehen, ist vertretbar und nicht dringend. Warum £49 und £54 für eine Geschenkkäuferin nicht dasselbe sind, auch wenn die Mathematik sagt, dass sie es fast sind, deckt Pricing Psychologie den Teil ab, den die Regression nicht sehen kann.

Elastizität ist nicht eine Zahl: Firmenkunden gegen Privatkäufer

Die minus 1,6 ist ein Durchschnitt über alle, die den Hamper gekauft haben, und Durchschnitte verstecken den nützlichen Teil. The Gift Bow hat drei erkennbare Gruppen: Firmenkunden, die fünf oder mehr auf Rechnung bestellen, private Geschenkkäufer und private Selbstkäufer. Die Wochendaten nach Segment aufgeteilt und dasselbe Modell neu geschätzt ergibt das:

Segment	Anteil an Stück	Elastizität	Standardfehler
Firmenbestellungen	31%	minus 0,7	0,30
Private Geschenkkäufer	54%	minus 1,9	0,28
Private Selbstkäufer	15%	minus 2,4	0,55
Alle Käufer	100%	minus 1,6	0,24

Absolute Eigenpreiselastizität nach Käufersegment aus den Log Log Modellen je Segment. Illustrative Daten.

Die Nachfrage der Firmenkunden ist unelastisch. Eine Einkaufsleiterin, die vierzig Hamper an Kunden verschickt, gibt ein Budget aus, das im September genehmigt wurde, die Freigabe ist bei £49 dieselbe wie bei £54, und die Alternative ist kein günstigerer Korb, sondern die Mühe, einen neuen Lieferanten zu finden. Private Selbstkäufer sind das Gegenteil, und der breite Standardfehler sagt dir, dass es nicht viele von ihnen gibt, aus denen man lernen könnte. Geschenkkäufer liegen dazwischen und dominieren die Menge.

Die praktische Folge ist, dass ein einziger Listenpreis das falsche Instrument ist. Eine Firmenpreisliste mit Mengenstaffeln über dem Webpreis und ein Webpreis, der auf die Geschenkkäuferin abgestimmt ist, schlagen jede einzelne Zahl, und die Regression ist das, was dir sagt, dass die Lücke echt ist und kein Bauchgefühl. Die Kreuzpreiselastizität teilt sich genauso: nahe null bei Firmenkunden, die keine Tabs vergleichen, grösser bei Selbstkäufern, die es tun. Wer das weiterdenkt und die Preise je Segment und Zeitpunkt vom Modell bewegen lässt, landet beim dynamischen Pricing, und das verdient ein eigenes Playbook.

Der Test, der es entscheidet

Alles oben ist beobachtend. Die Preise habe ich gesetzt, aus Gründen, und manche dieser Gründe hatten mit der Nachfrage zu tun, was die erste Falle weiter unten ist. Das Modell ist also eine Hypothese mit einer Zahl daran, und der Beweis ist ein Feldtest mit Kontrollgruppe.

In Woche 37, einer gewöhnlichen Oktoberwoche ohne Aktion, sah die eine Hälfte der Web Sessions, zufällig gewählt, den Hamper um £54, die andere um £49. Das Modell sagte voraus, dass die Privatkäufer um etwa 1,9 mal 10 Prozent zurückgehen, grob 18 Prozent. Die Kontrollgruppe kaufte 61 Hamper pro tausend Sessions, die Testgruppe 49, ein Rückgang von 20 Prozent, mit einem Intervall von etwa minus 8 bis minus 31 Prozent bei diesen Mengen. Der Umsatz pro tausend Sessions lag bei £2.989 in der Kontrolle gegen £2.646 im Test; der Deckungsbeitrag bei £1.830 gegen £1.715. Für den Webshop hat £49 gewonnen, und das Modell hatte es angesagt. Auf der Firmenseite habe ich der Hälfte der Anfragen des Monats £54 angeboten und dem Rest £49: 11 von 14 nahmen den höheren Preis an, 12 von 15 den niedrigeren, zu wenig für einen Beweis und völlig konsistent mit einer Elastizität um minus 0,7.

Test gegen Kontrolle ist der Beweis, weil er die Störfaktoren an der Quelle entfernt: dieselbe Woche, dasselbe Wetter, derselbe Mitbewerberpreis, derselbe Abstand zu Weihnachten, nur der Preis war anders. Die Regression hat mir gesagt, wo ich hinschauen soll und wie gross der Effekt sein dürfte; der Test hat mir gesagt, dass er echt ist. Wenn du dir nur eines von beiden leisten kannst, mach den Test. Kannst du dir beides leisten, macht das Modell den Test kleiner und schärfer.

So machst du das selbst

Du brauchst eine Zeile pro Woche für ein Produkt: verkaufte Stück, durchschnittlich realisierter Preis, eine Aktionsmarkierung, Saisonmarkierungen und jeder Mitbewerberpreis, den du sammeln kannst. Diese Tabelle zu bauen ist der grösste Teil der Arbeit. In einem Solidus Shop ist es eine Abfrage wie diese:

select date_trunc('week', o.completed_at)::date as week,
       sum(li.quantity) as units,
       sum(li.price * li.quantity) / sum(li.quantity) as price,
       max(case when o.promo_total <> 0 then 1 else 0 end) as promo
from spree_line_items li
join spree_orders o on o.id = li.order_id
join spree_variants v on v.id = li.variant_id
where v.sku = 'AFTERNOON-TEA' and o.state = 'complete'
group by 1 order by 1;

Ergänze die Weihnachtsmarkierung und den Mitbewerberpreis, dann schätze das Modell. In Python mit statsmodels:

import numpy as np
import statsmodels.formula.api as smf

df["ln_units"] = np.log(df["units"])
df["ln_price"] = np.log(df["price"])
df["ln_comp"] = np.log(df["competitor_price"])

model = smf.ols("ln_units ~ ln_price + promo + christmas + ln_comp", data=df)
fit = model.fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 4})
print(fit.summary())
print("elasticity:", round(fit.params["ln_price"], 2))

Die Option HAC liefert Standardfehler, die die Autokorrelation von Wochendaten überleben. In R bekommst du dasselbe mit lm plus dem Paket sandwich.

Zeitaufwand: ein Tag für eine saubere Wochentabelle, eine Stunde fürs Schätzen und Zeichnen, und etwa eine Woche Streit darüber, was die Koeffizienten bedeuten. Bevor du dem Ergebnis vertraust, fünf Prüfungen. Zähle die Preisstufen; weniger als fünf, und die Elastizität ist eine Vermutung mit Nachkommastellen. Zeichne die Residuen gegen die Zeit und gegen die geschätzten Werte und such nach Struktur. Prüfe die Korrelation zwischen Aktionsmarkierung und Saisonmarkierung; über etwa 0,6 streiten sie um dieselben Wochen. Schätze das Modell auf den ersten 40 Wochen neu, sag die letzten 12 voraus und schau, ob die Abweichungen so gross sind, wie der Residuenstandardfehler versprochen hat. Und lies bei jedem Koeffizienten das Vorzeichen vor der Grösse, denn ein positiver Eigenpreiskoeffizient ist keine Entdeckung, sondern ein Datenproblem.

Der Weg von der Bestelldatenbank zu einer verteidigbaren Preisentscheidung. Der Test ist nicht optional.

Fallen

Der Preis wird nicht zufällig gesetzt. Das ist die grosse Falle, und sie hat einen Namen: Endogenität. Wenn du die Preise erhöhst, wenn die Nachfrage stark ist, und senkst, wenn sie schwach ist, bewegen sich Preis und Fehlerterm gemeinsam, und OLS meldet eine Elastizität, die zu klein ist oder sogar das falsche Vorzeichen hat. Saisondummies fangen einen Teil davon ab; der Rest braucht Preisänderungen aus Gründen, die nichts mit der Nachfrage zu tun haben, oder einen randomisierten Test. Wenn die Historie eines Kunden jede Preiserhöhung im November zeigt, sage ich das, bevor ich irgendetwas schätze.

Aktionen wohnen in der Saison. Wenn jede Aktion im Dezember lief, kann das Modell den Code nicht vom Weihnachtseffekt trennen, und die Standardfehler an beiden blähen sich auf. Die Kur ist langweilig: Fahr wenigstens ein paar Aktionen in gewöhnlichen Monaten, damit die Daten Aktionswochen ohne Weihnachten und Weihnachtswochen ohne Aktion enthalten.

Zu wenig Variation. Ein Preis, der sich in einem Jahr zwei Mal bewegt hat, gibt dir zwei Punkte und eine Gerade hindurch. Der Standardfehler wird riesig sein, aber die Leute lesen den Koeffizienten und überspringen den Rest. Willst du deine Elastizität kennen, musst du den Preis bewegen, absichtlich und in beide Richtungen.

Extrapolation. Die Daten deckten £39 bis £59 ab. Über £29 oder £79 sagen sie nichts, und die Form mit konstanter Elastizität produziert für beides fröhlich eine Zahl. Eine Elastizität gilt über den Bereich der Preise, die du tatsächlich verlangt hast, und keinen Schritt weiter.

Konstante Elastizität ist eine Annahme. Das Log Log Modell erzwingt überall dieselbe prozentuale Reaktion. Echte Nachfrage hat oft einen Knick, eine Schwelle wie £50, an der sich das Verhalten ändert. Ergänze einen quadrierten Log Preis Term oder schätze ein stückweises Modell; wird die Anpassung besser, nenne verschiedene Elastizitäten für verschiedene Bereiche.

So mache ich das für Kunden

Das Ergebnis ist eine Preisentscheidung mit einer Zahl und einem Risiko daran, kein Modell. Es beginnt mit dem kostenlosen Workshop: ein halber Tag, um herauszufinden, welche Produkte sich im Preis oft genug bewegt haben, um etwas sagen zu können, was die Kosten pro Stück wirklich sind, und welche Entscheidung die Elastizität ändern würde. Lautet die Antwort "keine", sage ich das, und wir hören dort auf.

Dann arbeite ich zwei Wochen daran, bevor du dich zu irgendetwas verpflichtest. Ich brauche Bestellzeilen mit realisierten Preisen, die vorhandene Aktionshistorie und alle Mitbewerberpreise, die du hast oder zu sammeln beginnen kannst. Daraus baue ich die Wochentabelle, schätze das lineare und das Log Log Modell, teile nach Segment, wo die Daten es erlauben, und entwerfe eine Woche Test gegen Kontrolle für das Produkt, das am meisten zählt. Du bekommst drei Dinge: das Modell selbst, in einem Notebook, das dir gehört und das du neu laufen lassen kannst; eine Preisleiter wie die oben mit Umsatz und Deckungsbeitrag auf jeder Stufe, mit sichtbarem Fehlerbereich statt verstecktem; und ein einseitiges Entscheidungsmemo, das sagt, welchen Preis du testen sollst, was das Modell erwartet und was mich widerlegen würde. Willst du die Elastizität lebendig halten, wird sie ein Dashboard Panel, das eine Frage beantwortet: Stehen wir noch auf dem flachen Teil des Hügels?

Das gehört zu meiner Data Science Arbeit. Es kostet, was zwei Wochen einer verantwortlichen Person kosten, ausgeschrieben auf der Preisseite, und bei Shops, wo die Preisänderung direkt in den Umsatz fliesst, bin ich offen für eine provisionsbasierte Vereinbarung auf den Zuwachs. Dir gehört alles, was ich baue, inklusive Abfrage, Modell und Memo.

Fragen, bevor du einen Preis bewegst

• Wie viele verschiedene Preisstufen enthält unsere Historie für dieses Produkt, und über welchen Bereich?
• Wird die Elastizität mit Standardfehler oder Konfidenzintervall genannt, und wie breit ist es?
• Wurden die Preisänderungen in den Daten aus Gründen gemacht, die nichts mit der Nachfrage zu tun hatten, und wenn nicht, wie wurde das behandelt?
• Sind Aktionen und Saison getrennt im Modell, und wie stark korrelieren sie?
• Ist der empfohlene Preis ein Umsatzmaximum oder ein Deckungsbeitragsmaximum, und welche Stückkosten wurden verwendet?
• Unterscheidet sich die Elastizität nach Kundensegment, und spiegelt unsere Preisstruktur das wider?
• Welches Ergebnis aus Test gegen Kontrolle würde uns die Empfehlung verwerfen lassen?

Diese Serie ist inspiriert von Mike Grigsbys Marketing Analytics (Kogan Page). Erklärungen, Beispiele und Zahlen hier sind meine eigenen.