Optimierung unter Unsicherheit: Stochastische Programmierung für Budget Allokation und Pricing Strategie

Einleitung: Entscheidungen unter Unsicherheit

Die meisten Business Entscheidungen werden unter Unsicherheit getroffen. Du kennst zukünftige Nachfrage, Wettbewerberverhalten, Kundenreaktion oder exakte Kosten nicht im Voraus. Aber du musst trotzdem Budgets allozieren, Preise setzen und Ressourcen planen. Hier wird stochastische Optimierung mächtig. Sie lässt dich Entscheidungen in Gegenwart von Zufälligkeit modellieren und optimieren.

Ich nutze diese Techniken in echter Kundenarbeit, wenn ich Ad Spend über Kanäle plane, dynamische Pricing Strukturen und performance basierte Bidding Systeme.

Das Grundproblem: Optimierung mit Unsicherheit

Angenommen du hast ein fixes Marketing Budget $B$ und willst es über $n$ Kanäle allozieren. Jeder Kanal $i$ hat einen zufälligen Return $R_i(x_i, \omega)$ , wobei $x_i$ der Spend auf Kanal $i$ ist und $\omega$ das Szenario repräsentiert (z.B. Kundenverhalten, Conversion Rate, CPC).

Dein Ziel ist, den erwarteten Return zu maximieren:

\max_{x} \mathbb{E}_{\omega} \left[ \sum_{i=1}^{n} R_i(x_i, \omega) \right]

Unter den Nebenbedingungen:

\sum_{i=1}^{n} x_i \leq B, \quad x_i \geq 0

Das ist ein stochastisches Programmierungsproblem. Das Outcome hängt sowohl von deiner Entscheidung als auch von einer unsicheren Variable $\omega$ ab.

Zufälligkeit modellieren: Szenariobasiert vs Distributionsbasiert

Es gibt zwei Hauptwege, wie ich Unsicherheit modelliere:

Ansatz	Beschreibung	Wann ich ihn nutze
Szenariobasiert	Generiere endliche Menge von Szenarien $\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_K$ mit Wahrscheinlichkeiten $p_k$	Wenn historische Daten diskrete Outcomes nahelegen
Distributionsbasiert	Modelliere $\omega$ als kontinuierliche Zufallsvariable (z.B. normal, log normal)	Wenn Verhalten smooth und gut verstanden ist

Die Szenarioversion wird:

\max_x \sum_{k=1}^{K} p_k \sum_{i=1}^{n} R_i(x_i, \omega_k)

Das ist einfacher numerisch zu lösen.

Constraint Relaxation: Die Grenzen aufweichen

Echte Systeme brechen oft unter harten Constraints. Also nutze ich Constraint Relaxation um Realität flexibler zu modellieren.

Zum Beispiel, wenn $\sum x_i \leq B$ zu strikt ist (wegen Billing Cycles, Carryover Budgets), führe ich eine Slack Variable $s \geq 0$ ein und bestrafe sie:

\min_x -\mathbb{E}[R(x)] + \lambda s, \quad \sum x_i \leq B + s

Hier ist $\lambda$ die Strafe für Overspending. Es reflektiert, wie schmerzhaft es ist, das Budget zu überschreiten. Das erlaubt weiche Constraints, hilfreich beim Risikomanagement ohne brüchig zu sein.

Nichtlineare Returns und Gradient Optimierung

Returns sind selten linear. Zum Beispiel, mehr auf einem Kanal auszugeben hat oft sinkende Returns:

R_i(x_i) = a_i (1 - e^{-b_i x_i})

Das ist konkav und modelliert Sättigung, ein häufiges Real World Pattern.

Um solche Funktionen zu optimieren, nutze ich Stochastic Gradient Descent (SGD). Das updated iterativ den Spend Vektor $x$ indem es dem Gradienten des erwarteten Returns folgt:

x^{(t+1)} = x^{(t)} + \eta \nabla \mathbb{E}[R(x^{(t)})]

Wobei $\eta$ die Learning Rate ist und $\nabla \mathbb{E}[R(x)]$ der Gradient des erwarteten Returns. Ich schätze den Gradienten oft aus gesampelten Szenarien mit Monte Carlo Methoden.

Dualitätstheorie: Tradeoffs verstehen

Viele Optimierungsprobleme haben duale Formen, die Insights in Schattenpreise geben, den Wert davon, einen Constraint zu relaxieren.

Wenn $\lambda^*$ die optimale duale Variable für den Budget Constraint $\sum x_i \leq B$ ist, sagt sie dir: "Wie viel mehr Wert würde ich von einer Einheit mehr Budget bekommen?"

Formal, vom Lagrangian:

\mathcal{L}(x, \lambda) = -\mathbb{E}[R(x)] + \lambda \left(\sum x_i - B\right)

Wir finden das $\lambda$ , das die KKT (Karush Kuhn Tucker) Bedingungen erfüllt. Das ist besonders nützlich für Pricing und Ressourcenallokation.

Pricing Optimierung mit unsicherer Nachfrage

In der Pricing Strategie hängt Nachfrage $D(p, \omega)$ vom Preis $p$ und unsicheren Faktoren $\omega$ ab (wie Saisonalität, Wettbewerberpreis).

Revenue ist $R(p, \omega) = p \cdot D(p, \omega)$ . Das Ziel ist:

\max_p \mathbb{E}_{\omega}[p \cdot D(p, \omega)]

Angenommen log lineare Nachfrage:

D(p, \omega) = \alpha(\omega) \cdot p^{-\beta}

Ich kalibriere $\alpha$ und $\beta$ aus historischen Daten, führe Simulationen unter verschiedenen Pricing Strukturen durch und optimiere $p$ entweder mit Closed Form Ableitung (wenn tractable) oder numerischen Solvern.

Echtes Beispiel: Performance Budget über Kanäle

Ein Kunde musste €50.000 pro Monat über Paid Search, Social und Affiliate allozieren. Jeder Kanal hatte unterschiedliche Kostenunsicherheit und Lead zu Revenue Conversion Volatilität.

Ich hab ein stochastisches Modell gebaut:

Historische Variabilität als Szenario Inputs verwendet
Nichtlineare Revenue Funktionen pro Kanal angewandt
Gradienten mit Monte Carlo Sampling geschätzt
Constrained Optimisation durchgeführt

Kanal	Alte Allokation	Neue Allokation	Erwartete Return Änderung
Paid Search	€25.000	€22.000	+8%
Social	€15.000	€18.000	+12%
Affiliate	€10.000	€10.000	Stabil

Das Ergebnis: ein neuer Allokationsplan, der erwarteten Revenue um 18 Prozent gesteigert hat während Downside Risiko Exposure reduziert wurde, alles ohne Total Spend zu erhöhen.

Abschließender Gedanke: Für Unsicherheit planen, nicht um sie herum

In der Growth Arbeit triffst du immer Entscheidungen, bevor die Daten da sind. Pricing, Bids, Budgets, Offers, alle sind Unsicherheit ausgesetzt.

Stochastische Optimierung erlaubt mir, dieses Risiko explizit zu modellieren, nicht zu ignorieren. Es hilft Businesses:

Erwartetes Outcome zu maximieren
Varianz zu berücksichtigen, nicht nur Mean
Die Kosten von Constraints zu verstehen
Basierend auf Return Potential zu allozieren, nicht oberflächlicher Performance

Wenn du immer noch deterministische Pläne in einer probabilistischen Welt machst, verpasst du Upside und unterschätzt dein Risiko.

Ich kann dir helfen, Modelle zu bauen, die Realität reflektieren, nicht Annahmen. Und aus diesen Modellen extrahieren wir Strategien, die skalieren.