Entscheidungstheorie für Gründer: unter Unsicherheit entscheiden mit dem Erwartungswert

Jede Entscheidung ist eine Wette, und Abwarten ist auch eine

Als Gründerin oder Gründer entscheidest du nie mit allen Fakten auf dem Tisch. Du hebst den Preis, bevor du weißt, wie deine Kunden reagieren. Du unterschreibst einen Mietvertrag, bevor klar ist, ob die Aufträge kommen. Du stellst ein, bevor die Arbeit sicher ist. Und die Entscheidung zu vertagen ist kein sicherer Hafen. Es ist schlicht eine weitere Option mit eigenen Folgen, meistens die einzige, die niemand durchgerechnet hat.

Genau darum geht es in der Entscheidungstheorie: wählen, wenn das Ergebnis von Dingen abhängt, die du weder steuerst noch vollständig kennst. Sie sagt die Zukunft nicht voraus. Sie zwingt dich, deine Annahmen aufzuschreiben, damit man über sie streiten kann, und zeigt dann, welche Option sie begünstigen.

Ich arbeite durchgehend mit einem erfundenen Unternehmen. Das Röstwerk Altona ist eine kleine Kaffeerösterei in Hamburg, geführt von Jana, die ihre Bohnen online und im Abo verkauft. Jana gibt es nicht, alle Zahlen sind ausgedacht, damit ich jeden Schritt zeigen kann.

Schreib die Entscheidung als Ergebnistabelle auf

Vor jeder Rechnung braucht eine Entscheidung drei Listen. Die Handlungen sind die Optionen, zwischen denen du wählst. Die Zustände sind das, was sich als wahr herausstellen könnte und worauf du keinen Einfluss hast. Die Ergebnisse sind das, was du am Ende hast, für jede Handlung in jedem Zustand. Handlungen in die Zeilen, Zustände in die Spalten, und fertig ist die Ergebnistabelle.

Zwei Regeln zählen. Die Zustände müssen alles abdecken und dürfen sich nicht überschneiden, damit genau einer eintritt. Und "nichts tun" ist immer eine Zeile. Wer sie weglässt, vergleicht am Ende zwei teure Pläne miteinander und nie mit der Möglichkeit, das Geld einfach zu behalten.

Rechenbeispiel: Janas Frage nach dem Großhandel

Cafés in Hamburg fragen Jana immer wieder, ob sie ihre Bohnen kiloweise kaufen können. Für das kommende Jahr sieht sie drei Optionen:

• Weitermachen wie bisher, nur online.
• Ein kleines Großhandelssortiment auf dem jetzigen Röster starten. Dafür braucht sie 8.000 € für eine Mühle, Großverpackungen und Proben.
• Einen größeren Röster leasen und den Großhandel richtig angehen, eine Verpflichtung von 30.000 € über das Jahr.

Was passiert, hängt an einer Sache, die sie nicht steuern kann: wie viele Cafés tatsächlich unterschreiben und dabei bleiben. Sie vereinfacht das auf drei Zustände, starke, mittlere und schwache Nachfrage. Dann schätzt sie für jede Option und jeden Zustand den zusätzlichen Gewinn im Jahr, nach Kosten:

Option	Starke Nachfrage	Mittlere Nachfrage	Schwache Nachfrage
Weitermachen wie bisher	0 €	0 €	0 €
Kleines Großhandelssortiment	20.000 €	5.000 €	minus 8.000 €
Größerer Röster	45.000 €	5.000 €	minus 30.000 €

Bei starker Nachfrage verdient der Röster am meisten. In einem schwachen Jahr ist er mit Abstand am schlechtesten, weil das Leasing so oder so fällig ist. In dieser Spannung steckt die ganze Entscheidung.

Erwartungswert: jedes Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichten

Die erste Frage an eine Ergebnistabelle lautet: Was ist jede Option im Schnitt wert, wenn du dieselbe Wahl sehr oft treffen könntest? Dieser langfristige Durchschnitt ist der Erwartungswert. Du multiplizierst jedes Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles.¹

$$E[a] = \sum_{j=1}^{n} p_j \, x_{aj}$$

Dabei ist $E[a]$ der Erwartungswert der Handlung $a$, die Summe $\sum_{j=1}^{n}$ läuft über alle $n$ Zustände der Welt, $p_j$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Zustand $j$ eintritt, und $x_{aj}$ ist das Ergebnis der Handlung $a$, wenn Zustand $j$ eintritt. Die Wahrscheinlichkeiten $p_j$ müssen zusammen 1 ergeben, weil genau ein Zustand eintritt. Die Idee erkläre ich von Grund auf in Grundlagen: der Erwartungswert, die Wahrscheinlichkeiten selbst in Grundlagen: Wahrscheinlichkeit.

Die Option mit dem höchsten Erwartungswert zu wählen ist die Standardregel der Entscheidungsanalyse, oft Maximierung des erwarteten Geldwerts genannt.² Sie passt immer dann, wenn der Einsatz klein ist im Verhältnis zum Unternehmen und die Entscheidung regelmäßig wiederkommt, denn dann spielen sich die Durchschnitte tatsächlich aus.

Rechenbeispiel: der Erwartungswert jeder Option

Jana spricht mit einem Dutzend Cafés und schaut sich an, wie ihre Onlineabos gewachsen sind. Ihre beste Schätzung: 30 % Chance auf starke Nachfrage, 50 % auf mittlere und 20 % auf schwache, also $p_{\text{stark}} = 0{,}3$, $p_{\text{mittel}} = 0{,}5$ und $p_{\text{schwach}} = 0{,}2$. Zusammen ergibt das 1, wie es sein muss.

Weitermachen wie bisher bringt in jedem Zustand 0 €, der Erwartungswert ist also 0 €.

Für das kleine Großhandelssortiment gilt $E[\text{Sortiment}] = 0{,}3 \times 20.000 + 0{,}5 \times 5.000 + 0{,}2 \times (-8.000) = 6.000 + 2.500 - 1.600 = 6.900$.

Für den größeren Röster gilt $E[\text{Röster}] = 0{,}3 \times 45.000 + 0{,}5 \times 5.000 + 0{,}2 \times (-30.000) = 13.500 + 2.500 - 6.000 = 10.000$.

In beiden Zeilen sind die Wahrscheinlichkeiten die $p_j$ und die Beträge die Ergebnisse $x_{aj}$ aus der Tabelle. Nach Erwartungswert gewinnt der größere Röster, 10.000 € gegen 6.900 €, und Nichtstun landet mit 0 € weit abgeschlagen auf Platz drei.

Hätte Jana hundert Röstereien, wäre der Röster die richtige Wahl. Sie hat eine. Genau hier braucht der Erwartungswert Unterstützung.

Woher die Wahrscheinlichkeiten kommen

Der Erwartungswert ist nur so gut wie die Wahrscheinlichkeiten, die du hineinsteckst, und im Geschäftsleben schenkt dir die niemand.

Frank Knight hat die Grenze vor einem Jahrhundert gezogen. Manche Unsicherheit lässt sich auf eine messbare Wahrscheinlichkeit zurückführen, indem man viele ähnliche Fälle zusammenfasst. Das nannte er Risiko. Manche nicht, weil es keine ähnlichen Fälle gibt, und das ist Unsicherheit im engeren Sinn.³ Eine Conversion Rate, gemessen an 40.000 Besuchern, ist Risiko. Ob eine neue Produktkategorie abhebt, liegt näher an der Unsicherheit.

Nach meiner Erfahrung ist der ehrliche Weg, drei Quellen zu nutzen und jede zu benennen. Zuerst Basisraten: Wie oft haben ähnliche Starts funktioniert? Dann Hinweise, die speziell für diesen Fall gelten. Dann das eigene Urteil, ausdrücklich als Urteil gekennzeichnet. Herauskommt immer noch eine Schätzung, aber eine, die man angreifen kann, und das schlägt jedes Bauchgefühl, das niemand prüfen kann.

Rechenbeispiel: wie die 30 % entstehen

Von den 12 Cafés, mit denen Jana gesprochen hat, sagten vier, sie würden innerhalb von drei Monaten wechseln, wenn der Preis stimmt. Ihre Onlineabos sind im ersten Jahr kräftig gewachsen, der Kaffee verkauft sich also. Dagegen steht, dass Cafés ihre Rösterei selten wechseln, und ein "ich würde wechseln" beim Flat White ist noch kein unterschriebener Auftrag. Sie legt sich auf 30 % stark, 50 % mittel und 20 % schwach fest und schreibt die Begründung neben die Tabelle. So sieht sie in sechs Monaten, welcher Teil daneben lag.

Nutzen: wenn das schlechte Ergebnis dich versenken könnte

Angenommen, Janas Unternehmen hat 40.000 € an Kasse und Rücklagen. Im schwachen Jahr verliert der Röster 30.000 € und lässt 10.000 € übrig. Das Unternehmen überlebt, knapp, ohne jeden Puffer. Der Erwartungswert behandelt einen Verlust von 30.000 € und einen Gewinn von 30.000 € als Spiegelbilder. Für das Unternehmen sind sie das nicht.

Daniel Bernoulli hat das 1738 auf den Punkt gebracht. Er argumentierte, dass der Wert eines zusätzlichen Euros davon abhängt, wie viele du schon hast, und schlug vor, dass der Nutzen von Vermögen mit seinem Logarithmus wächst. Jeder weitere Euro bringt etwas weniger als der vorige. Ökonomen nennen das abnehmenden Grenznutzen.⁴ 1944 gaben John von Neumann und Oskar Morgenstern der Idee ihr modernes Fundament. Sie zeigten, dass jemand, der ein paar widerspruchsfreie Regeln befolgt, so handelt, als würde er den Erwartungswert einer Nutzenfunktion maximieren und nicht den des Geldes selbst.⁵

$$EU(a) = \sum_{j=1}^{n} p_j \, U\!\left(W_0 + x_{aj}\right), \qquad U(w) = \ln w$$

Dabei ist $EU(a)$ der erwartete Nutzen der Handlung $a$, $p_j$ wieder die Wahrscheinlichkeit von Zustand $j$, $W_0$ das Vermögen, mit dem du startest, und $x_{aj}$ der Gewinn oder Verlust der Handlung $a$ im Zustand $j$. $W_0 + x_{aj}$ ist also, wo du am Ende stehst, und $U$ ist die Nutzenfunktion, die einen Geldbetrag in das übersetzt, was er dir wert ist. Bernoullis Wahl ist $U(w) = \ln w$, der natürliche Logarithmus, der erst steil steigt und dann abflacht. Den Logarithmus erkläre ich in Grundlagen: Logarithmen, die Gewichtung ist dieselbe wie in Grundlagen: der Erwartungswert.

Nutzenwerte allein sagen wenig, deshalb rechne ich sie in Geld zurück. Das Sicherheitsäquivalent ist der sichere Betrag, der dir genau so viel wert wäre wie die Wette.

$$CE(a) = e^{EU(a)} - W_0$$

Dabei ist $CE(a)$ das Sicherheitsäquivalent der Handlung $a$ und $e$ die Basis des natürlichen Logarithmus (etwa 2,7183). $e^{EU(a)}$ macht den Logarithmus also rückgängig und verwandelt den erwarteten Nutzen wieder in einen Vermögensbetrag, und $W_0$ wird abgezogen, damit das Ergebnis ein Gewinn gegenüber dem Startpunkt ist. Die Lücke zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent ist die Risikoprämie, also das, was dich die Unsicherheit kostet. Die Grundlage bleibt Grundlagen: Logarithmen.

Rechenbeispiel: Janas Optionen im Nutzen

Jana startet mit $W_0 = 40.000$. Für jede Option addiere ich das Ergebnis zu 40.000 €, nehme den natürlichen Logarithmus und gewichte mit den Wahrscheinlichkeiten.

Weitermachen lässt sie in jedem Zustand bei 40.000 €. Der erwartete Nutzen ist $\ln 40.000 = 10{,}5966$, das Sicherheitsäquivalent 0 €.

Das Großhandelssortiment endet bei 60.000 €, 45.000 € oder 32.000 €, also $EU(\text{Sortiment}) = 0{,}3 \times 11{,}0021 + 0{,}5 \times 10{,}7144 + 0{,}2 \times 10{,}3735 = 10{,}7325$.

Der Röster endet bei 85.000 €, 45.000 € oder 10.000 €, also $EU(\text{Röster}) = 0{,}3 \times 11{,}3504 + 0{,}5 \times 10{,}7144 + 0{,}2 \times 9{,}2103 = 10{,}6044$.

Jede Zahl in den Summen ist $\ln(W_0 + x_{aj})$, zum Beispiel $\ln 60.000 = 11{,}0021$, gewichtet mit ihrem $p_j$.

Zurück in Geld hat das Großhandelssortiment ein Sicherheitsäquivalent von $e^{10{,}7325} - 40.000$, etwa 5.800 €. Der größere Röster kommt auf $e^{10{,}6044} - 40.000$, etwa 300 €.

Die Rangfolge dreht sich also. Der Röster hat den höheren Erwartungswert, aber seine Risikoprämie liegt bei etwa 9.700 €, weil das schwache Jahr so tief in ein Unternehmen mit 40.000 € schneidet. Das Sortiment gibt 3.100 € Erwartungswert ab und trägt eine Risikoprämie von nur etwa 1.100 €. Für ein Unternehmen dieser Größe ist es die bessere Wette.

Rechne dasselbe für eine Konkurrentin mit 400.000 € auf dem Konto, und der Röster gewinnt deutlich. Gleiche Tabelle, gleiche Wahrscheinlichkeiten, andere Antwort. Das ist der Kern: Die richtige Wahl hängt davon ab, was das Unternehmen verkraften kann.

Verlustaversion ist nicht dasselbe wie Vorsicht

Oft hörst du, Gründer seien vorsichtig, weil "ein Verlust von 10.000 € mehr wehtut, als ein Gewinn von 10.000 € Freude macht". Da werden zwei verschiedene Ideen vermischt, und der Unterschied zählt in der Praxis.

Nutzen im Sinne Bernoullis bezieht sich auf das Endvermögen. Er ist ein vernünftiger Grund, eine Wette mit positivem Erwartungswert abzulehnen, und er verblasst, wenn der Einsatz klein ist im Verhältnis zu dem, was du besitzt.

Verlustaversion ist etwas anderes. Daniel Kahneman und Amos Tversky zeigten 1979, dass Menschen Ergebnisse als Gewinne und Verluste gegenüber einem Bezugspunkt bewerten, meistens dem Stand von heute, und nicht als Endvermögen, und dass Verluste schwerer wiegen als gleich große Gewinne.⁶ In ihrer späteren Arbeit nannten sie die Verlustaversion eines der beiden Prinzipien, die die Form menschlicher Entscheidungen erklären.⁷ Sie greift sogar bei Beträgen, die dem Unternehmen nie gefährlich werden könnten.

Eine einfache Schreibweise, die nur die Asymmetrie behält:

$$v(x) = \begin{cases} x & \text{wenn } x \ge 0 \\ \lambda x & \text{wenn } x < 0 \end{cases}$$

Dabei ist $v(x)$, wie sich ein Ergebnis anfühlt, $x$ der Gewinn oder Verlust gemessen am heutigen Stand, und $\lambda$ das Gewicht der Verlustaversion, eine Zahl über 1, die einen Verlust stärker zählen lässt als einen gleich großen Gewinn. Das vollständige Modell krümmt außerdem beide Seiten, das lasse ich hier weg. Die zugrunde liegende Gewichtung ist weiterhin Grundlagen: der Erwartungswert.

Rechenbeispiel: die kleine Wette, zu der Jana immer Nein sagt

Jana bekommt einen gesponserten Platz in einem regionalen Food Newsletter angeboten. Nach allem, was sie gesehen hat, ist das ein Münzwurf: In der Hälfte der Fälle bringt er 3.000 € Gewinn, in der anderen Hälfte ist die Gebühr von 2.000 € verloren. Der Erwartungswert ist $0{,}5 \times 3.000 + 0{,}5 \times (-2.000) = 500$, also positive 500 €.

Mit einem beispielhaften Verlustgewicht von $\lambda = 2$, meine eigene Annahme für das Beispiel, fühlt es sich so an: $0{,}5 \times 3.000 + 0{,}5 \times 2 \times (-2.000) = 1.500 - 2.000 = -500$. Eine Wette, die plus 500 € wert ist, fühlt sich an wie minus 500 €, also sagt sie Nein.

Angenommen, so ein Platz kommt 20 Mal im Jahr. Nimmt sie jeden, liegt die erwartete Summe bei $20 \times 500 = 10.000$ €. Im Minus endet sie das Jahr nur, wenn sieben oder weniger der 20 Versuche gut ausgehen, und bei einer fairen Münze passiert das in etwa 13 % der Fälle (eine Binomialwahrscheinlichkeit, erklärt in Grundlagen: Verteilungen). Und keiner der einzelnen Verluste von 2.000 € bringt das Unternehmen auch nur in die Nähe einer Gefahr.

Das ist der hilfreiche Test. Wenn das schlechte Ergebnis dem Unternehmen wirklich schaden würde, ist Vorsicht Nutzen, und sie ist richtig. Wenn es nur unangenehm ist und die Wette oft wiederkommt, ist die Zurückhaltung Verlustaversion, und die wird leise teuer. Mehr zur Psychologie dahinter findest du in wie Kunden wirklich entscheiden.

Wenn du die Chancen nicht beziffern kannst

Manchmal gibt es keine ehrliche Wahrscheinlichkeit. Eine Plattform ändert vielleicht ihre Regeln, ein Lieferant geht vielleicht pleite. Die Zustände kannst du auflisten, aber jede Prozentzahl daneben wäre erfunden. Für solche Fälle gibt es Regeln, die nur die Ergebnistabelle brauchen.

Abraham Wald baute seine statistische Entscheidungstheorie um das Minimax Kriterium: Beurteile jede Option danach, wie schlecht sie ausgehen kann, und nimm die, deren schlimmster Fall am wenigsten schlimm ist.⁸ Wenn die Tabelle Gewinne statt Verluste zeigt, heißt dieselbe Idee Maximin.

$$a^{*} = \arg\max_{a} \; \min_{j} \; x_{aj}$$

Dabei ist $x_{aj}$ das Ergebnis der Handlung $a$ im Zustand $j$, $\min_{j}$ sucht für jede Handlung das schlechteste Ergebnis über alle Zustände, $\max_{a}$ wählt das größte dieser schlechtesten Ergebnisse, und $\arg$ heißt, dass wir die Handlung $a^{*}$ suchen, die es erreicht, nicht die Zahl selbst. Eine Wahrscheinlichkeit kommt nirgends vor. Die Tabelle lese ich hier genauso wie in Grundlagen: der Erwartungswert, nur ohne Gewichte.

Maximin ist sehr vorsichtig. Damit würdest du nie einen Laden eröffnen. Leonard Savage schlug eine weniger ängstliche Alternative vor, das Minimax Regret Kriterium, die Regel des kleinsten maximalen Bedauerns.⁸ Bedauern ist die Lücke zwischen dem, was du bekommen hast, und dem, was du hättest bekommen können, wenn du gewusst hättest, welcher Zustand eintritt.

$$r_{aj} = \max_{b} \, x_{bj} - x_{aj}, \qquad a^{*} = \arg\min_{a} \; \max_{j} \; r_{aj}$$

Dabei ist $r_{aj}$ das Bedauern der Handlung $a$ im Zustand $j$, $\max_{b} x_{bj}$ das beste Ergebnis, das irgendeine Handlung $b$ in diesem Zustand $j$ erreicht, und $x_{aj}$ das, was Handlung $a$ tatsächlich erreicht hat. Dann sucht $\max_{j}$ das größte Bedauern jeder Handlung, und $\arg\min_{a}$ wählt die Handlung $a^{*}$, deren größtes Bedauern am kleinsten ist. Dieselbe Tabelle, nur Spalte für Spalte statt Zeile für Zeile gelesen, wie in Grundlagen: der Erwartungswert ohne Gewichte.

Rechenbeispiel: drei Regeln auf Janas Tabelle

Zuerst Maximin. Die schlechtesten Ergebnisse sind 0 € fürs Weitermachen, minus 8.000 € für das Großhandelssortiment und minus 30.000 € für den größeren Röster. Das größte davon ist 0 €, also sagt Maximin: weitermachen wie bisher. Das Spiegelbild, Maximax, schaut nur auf die besten Fälle (0 €, 20.000 €, 45.000 €) und sagt: Röster kaufen.²

Jetzt das kleinste maximale Bedauern. In der Spalte starke Nachfrage ist das beste Ergebnis 45.000 €, das Bedauern liegt also bei 45.000 € fürs Weitermachen, 25.000 € für das Sortiment und 0 € für den Röster. In der Spalte mittlere Nachfrage ist das Beste 5.000 €, das Bedauern also 5.000 €, 0 € und 0 €. In der Spalte schwache Nachfrage ist das Beste 0 €, das Bedauern also 0 €, 8.000 € und 30.000 €.

Das größte Bedauern jeder Option liegt bei 45.000 € fürs Weitermachen, 25.000 € für das Großhandelssortiment und 30.000 € für den Röster. Das kleinste davon sind 25.000 €, also wählt diese Regel das Großhandelssortiment.

Unten stehen Janas drei Optionen. Die Höhe jedes Balkens ist das größte Bedauern dieser Option in Euro, also das Meiste, worüber sie sich in irgendeinem Zustand ärgern könnte. Die Regel des kleinsten maximalen Bedauerns nimmt den niedrigsten Balken. Weitermachen wirkt sicher und trägt doch das größte Bedauern, denn ein starkes Jahr ohne Bewegung lässt 45.000 € liegen.

Drei Regeln, drei Antworten. Das ist kein Fehler. Jede Regel steht für eine andere Haltung, und nebeneinander zeigen sie, wie stark deine Antwort von dieser Haltung abhängt. Wenn alle Regeln in dieselbe Richtung zeigen, höre ich auf zu analysieren und handle.

Entscheidungen in Stufen: Bäume, rückwärts gelöst

Echte Entscheidungen fallen selten in einem Zug. Oft kannst du einen kleinen Schritt machen, etwas lernen und dich dann festlegen. Ein Entscheidungsbaum zeichnet diese Abfolge: ein Quadrat, wo du wählst, ein Kreis, wo der Zufall entscheidet, Ergebnisse an den Spitzen.

Du löst einen Baum von den Spitzen zurück zur Wurzel. An jedem Zufallsknoten nimmst du den Erwartungswert der Äste. An jedem Entscheidungsknoten behältst du den besten Ast und schneidest die anderen ab. Im Lehrbuch heißt es, man arbeite von rechts nach links und berechne unterwegs die Erwartungswerte.² In der Spieltheorie heißt dasselbe Verfahren Rückwärtsinduktion. Trifft an manchen dieser Knoten ein Wettbewerber die Wahl, bist du mitten in der Spieltheorie, die ich in Spieltheorie für Pricing und Positionierung behandle.

Stark werden Bäume durch einen Schritt: die Wahrscheinlichkeiten anzupassen, nachdem du etwas gelernt hast. Dafür gibt es den Satz von Bayes.

$$P(s_j \mid \text{signal}) = \frac{P(\text{signal} \mid s_j) \, P(s_j)}{P(\text{signal})}$$

Dabei ist $P(s_j)$ deine Wahrscheinlichkeit für Zustand $s_j$, bevor du etwas erfährst (die A priori Wahrscheinlichkeit), $P(\text{signal} \mid s_j)$ wie wahrscheinlich das Signal ist, wenn dieser Zustand wahr ist, $P(\text{signal})$ wie wahrscheinlich das Signal insgesamt ist, berechnet als Summe von $P(\text{signal} \mid s_j) \, P(s_j)$ über alle Zustände, und $P(s_j \mid \text{signal})$ die angepasste Wahrscheinlichkeit des Zustands, nachdem du das Signal gesehen hast (die A posteriori Wahrscheinlichkeit). Den Satz von Bayes rechne ich in Grundlagen: Wahrscheinlichkeit durch.

Rechenbeispiel: ein Pilot über drei Monate mit fünf Cafés

Jana hat eine vierte Option. Bevor sie wählt, könnte sie fünf Hamburger Cafés drei Monate lang beliefern, für 1.500 € an kostenlosen Bohnen, Proben und eigener Zeit. Am Ende wirkt der Pilot entweder lebhaft (die Cafés bestellen nach und wollen mehr) oder ruhig.

Der Pilot ist keine Kristallkugel. Sie schätzt, dass er bei wirklich starker Nachfrage in 80 % der Fälle lebhaft wirkt, bei mittlerer in 50 % und bei schwacher in 10 %.

Zuerst: Wie wahrscheinlich ist ein lebhafter Pilot insgesamt? $P(\text{lebhaft}) = 0{,}8 \times 0{,}3 + 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}1 \times 0{,}2 = 0{,}24 + 0{,}25 + 0{,}02 = 0{,}51$. Ein ruhiger Pilot hat also die Wahrscheinlichkeit 0,49.

Nach einem lebhaften Piloten liefert der Satz von Bayes stark $0{,}24 / 0{,}51 = 0{,}471$, mittel $0{,}25 / 0{,}51 = 0{,}490$ und schwach $0{,}02 / 0{,}51 = 0{,}039$. Mit diesen Wahrscheinlichkeiten ist der größere Röster $0{,}471 \times 45.000 + 0{,}490 \times 5.000 - 0{,}039 \times 30.000$ wert, etwa 22.450 €, gegen etwa 11.550 € für das Sortiment. Sie würde den Röster nehmen.

Nach einem ruhigen Piloten lauten die angepassten Wahrscheinlichkeiten stark $0{,}06 / 0{,}49 = 0{,}122$, mittel $0{,}25 / 0{,}49 = 0{,}510$ und schwach $0{,}18 / 0{,}49 = 0{,}367$. Jetzt ist der Röster etwa minus 2.960 € wert, das Sortiment etwa 2.060 € und Weitermachen 0 €. Sie würde das Sortiment starten.

Zurückgefaltet zur Wurzel: $0{,}51 \times 22.450 + 0{,}49 \times 2.060$, also 11.450 € plus 1.010 €, ergibt etwa 12.460 € vor den Kosten des Piloten und 10.960 € danach. Bei einer Entscheidung sofort war das Beste der Röster mit 10.000 €. Der Weg über den Piloten ist also etwa 960 € mehr wert, und er macht aus einer einzelnen Wette einen Plan: Röster, wenn lebhaft, Sortiment, wenn ruhig.

Das Diagramm liest sich von oben. Das erste Feld ist der Pilot, die Raute ist der Moment, in dem der Zufall zeigt, ob er lebhaft wirkte, die nächsten beiden Felder sind Janas Schritt für jede Antwort, und das letzte Feld ist der Wert des ganzen Plans, wenn alles zurückgefaltet ist.

Was es wert ist, mehr zu wissen

Wie viel solltest du ausgeben, um etwas herauszufinden, bevor du entscheidest? Marktforschung, eine Testkampagne, ein Prototyp. Die Entscheidungstheorie liefert eine klare Obergrenze: den Erwartungswert perfekter Information.

Stell dir jemanden vor, der dir kostenlos sagen könnte, welcher Zustand eintritt. Der Erwartungswert, wenn du für jeden Zustand immer die beste Handlung wählst, minus das Beste, was du ohne dieses Wissen erreichst, ist das, was perfekte Voraussicht wert ist. Kein echter Test kann mehr wert sein, also deckelt diese Zahl, was du überhaupt für Information zahlen solltest.⁹

$$\text{EVPI} = \sum_{j=1}^{n} p_j \, \max_{a} \, x_{aj} \; - \; \max_{a} \sum_{j=1}^{n} p_j \, x_{aj}$$

Dabei ist $\text{EVPI}$ der Erwartungswert perfekter Information (Expected Value of Perfect Information), $p_j$ die Wahrscheinlichkeit von Zustand $j$, $\max_{a} x_{aj}$ das beste Ergebnis, das im Zustand $j$ möglich ist, wenn du wüsstest, dass er kommt. Die erste Summe ist also der Erwartungswert mit perfekter Voraussicht, und $\max_{a} \sum_{j} p_j \, x_{aj}$ ist der höchste Erwartungswert, den du ohne sie erreichst. Beide Hälften sind Erwartungswerte im Sinne von Grundlagen: der Erwartungswert.

Rechenbeispiel: das Maximum, das Jana fürs Herausfinden ausgeben sollte

Mit perfekter Voraussicht würde Jana in einem starken Jahr den Röster kaufen (45.000 €), in einem mittleren Jahr eine der beiden Großhandelsoptionen nehmen (5.000 €) und in einem schwachen Jahr weitermachen wie bisher (0 €). Der Erwartungswert davon ist $0{,}3 \times 45.000 + 0{,}5 \times 5.000 + 0{,}2 \times 0 = 13.500 + 2.500 + 0 = 16.000$.

Ohne Information war der beste Erwartungswert der des Rösters mit 10.000 €. Also gilt $\text{EVPI} = 16.000 - 10.000 = 6.000$.

Keine Umfrage, keine Beratung und kein Pilot zur Nachfrage der Cafés kann ihr mehr als 6.000 € wert sein. Der echte Pilot, der unvollkommen ist, war 12.460 € minus 10.000 € wert, also etwa 2.460 €, und damit deutlich mehr als seine Kosten von 1.500 €. Ein Pilot für 3.000 € hätte im Schnitt Geld verloren, obwohl sie auch daraus etwas gelernt hätte. Lernen ist nicht umsonst, und diese Rechnung sagt dir, wann es sich lohnt. Wenn die Information aus einem Test kommen soll, ist wie viele Daten ein Test braucht die naheliegende nächste Frage.

Finde die Zahl, die die Antwort kippt

Steht eine Entscheidung erst einmal auf Papier, ist die nützlichste Frage: Was müsste anders sein, damit sich die Antwort ändert? Das ist Sensitivitätsanalyse, und sie zeigt, welche Schätzung die gründlichste Prüfung verdient.

Rechenbeispiel: wie sicher muss Jana sein?

Halte die Chance auf starke Nachfrage bei 30 % fest und lass die Chance auf ein schwaches Jahr wandern, mittlere Nachfrage nimmt den Rest. Der Röster unterscheidet sich vom Großhandelssortiment um plus 25.000 € im starken Jahr, gar nicht im mittleren und minus 22.000 € im schwachen. Der Röster liegt also um $0{,}3 \times 25.000 - p_{\text{schwach}} \times 22.000$ vorn, und das ist null bei $p_{\text{schwach}} = 7.500 / 22.000 = 0{,}34$. Das ist wieder die Gewichtung aus Grundlagen: der Erwartungswert.

Unten steht die Wahrscheinlichkeit, die Jana einem schwachen Jahr gibt, von 0 % bis 50 %. Seitlich steht der Erwartungswert jeder Option in Euro. Die Linie des Rösters fällt steil, weil sein schwaches Jahr so teuer ist, und sie rutscht bei etwa 34 % unter das Sortiment. Hält Jana ein schwaches Jahr für wahrscheinlicher als eins zu drei, gewinnt das Sortiment schon beim reinen Erwartungswert, bevor der Nutzen überhaupt mitredet.

Damit weiß sie, wohin ihr Zweifel gehört: auf die Frage, ob ein schwaches Jahr eins zu fünf oder eins zu drei ist. Genau das kann der Pilot gut unterscheiden.

Wie ich das mit Gründern zusammensetze

Nichts davon braucht Software. Eine Tabellenkalkulation und eine ehrliche Stunde reichen.

Das Diagramm läuft von oben nach unten. Die Raute ist die ehrliche Weggabelung: Mit belastbaren Wahrscheinlichkeiten nimmst du Erwartungswert und Nutzen, ohne sie die Regeln, die nur die Tabelle brauchen. Am Ende steht eine schriftliche Entscheidung mit Termin zur Überprüfung, denn durch die Überprüfung werden die nächsten Wahrscheinlichkeiten besser.

Rechenbeispiel: Janas eine Seite

Auf Janas Seite stehen die Tabelle, die Wahrscheinlichkeiten mit Begründung, die Erwartungswerte (0 €, 6.900 €, 10.000 €), die Sicherheitsäquivalente (0 €, etwa 5.800 €, etwa 300 €), der Wert perfekter Information von 6.000 €, der Plan mit Pilot bei etwa 10.960 € nach dessen Kosten und der Kipppunkt bei 34 %. Ihre Entscheidung: den Piloten machen. Röster, wenn lebhaft, Sortiment, wenn ruhig. Überprüfung in drei Monaten.

Nach meiner Erfahrung zählt die Seite mehr als jede einzelne Zahl darauf. Sie verwandelt einen Streit über Bauchgefühle in einen Streit über eine einzige Wahrscheinlichkeit, und der ist deutlich kürzer.

Was Entscheidungstheorie nicht leistet

Sie schafft das Risiko nicht ab. Jana kann jeden Schritt befolgen und trotzdem ein schwaches Jahr erwischen. Eine gute Entscheidung kann schlecht ausgehen, und eine leichtsinnige kann Glück haben. Beurteile eine Entscheidung nach dem, was du wusstest, als du sie getroffen hast.

Sie ist auch nicht besser als ihre Eingaben. Wie es in den Kursunterlagen des MIT heißt, sind die Ergebnisse nicht besser als das Modell und die Einschätzungen dahinter.² Deshalb steht neben jeder Zahl die Begründung.

Was sie leistet, ist, das Risiko zu rahmen. Sie zeigt, was du annimmst, gibt dem, was du nicht weißt, einen Preis und verhindert, dass die selbstsicherste Stimme im Raum einfach so gewinnt. Wenn du dir allgemein angewöhnen willst, in Spannweiten statt in einzelnen Zahlen zu denken, habe ich darüber geschrieben, warum Durchschnitte lügen, und wie du ein Budget auf unsichere Optionen verteilst, steht in Optimierung unter Unsicherheit.

Footnotes

1. Barbara Illowsky und Susan Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation, OpenStax, Rice University, Houston, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-2-mean-or-expected-value-and-standard-deviation

2. George E. Apostolakis, DA 1: The multistage decision model, Vorlesungsfolien zu ESD.72 Engineering Risk Benefit Analysis, MIT OpenCourseWare, 2007, https://ocw.mit.edu/courses/esd-72-engineering-risk-benefit-analysis-spring-2007/resources/da1/

3. Frank H. Knight, Risk, Uncertainty, and Profit, Teil III, The Meaning of Risk and Uncertainty, Houghton Mifflin, 1921, über die Library of Economics and Liberty, https://www.econlib.org/library/Knight/knRUP6.html

4. Martin Peterson, The St. Petersburg Paradox, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2019, überarbeitet 2023, https://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg/

5. John von Neumann und Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Ausgabe zum 60. Jubiläum, Princeton University Press, 1944 und 2004, https://press.princeton.edu/books/paperback/9780691130613/theory-of-games-and-economic-behavior

6. Daniel Kahneman und Amos Tversky, Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, Econometrica, Band 47, Heft 2, Seiten 263 bis 292, Econometric Society, 1979, https://www.econometricsociety.org/publications/econometrica/1979/03/01/prospect-theory-analysis-decision-under-risk

7. Amos Tversky und Daniel Kahneman, Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty, Journal of Risk and Uncertainty, Band 5, Heft 4, Seiten 297 bis 323, 1992, https://ideas.repec.org/a/kap/jrisku/v5y1992i4p297-323.html

8. Charles F. Manski, Statistical Decision Theory for Treatment Choice, Vorlesungsfolien, Northwestern University, Centre for Microdata Methods and Practice (cemmap), https://www.cemmap.ac.uk/wp-content/legacy/uploads/cemmap/resources%20%28slides%29/Manski%20Tetenov/Session%201-2.pdf

9. George E. Apostolakis, DA 2: The value of perfect information, Vorlesungsfolien zu ESD.72 Engineering Risk Benefit Analysis, MIT OpenCourseWare, 2007, https://ocw.mit.edu/courses/esd-72-engineering-risk-benefit-analysis-spring-2007/resources/da2/