Optimierung unter Unsicherheit: Werbebudget und Preise über mehrere Szenarien planen

Ein Plan auf Basis einer einzigen Prognose ist ein Plan für einen Monat, den es nie geben wird

Die meisten Budgetpläne beginnen mit einer einzigen Zahl. Der Dezember bringt so viel Umsatz, also geben wir so viel für Werbung aus und setzen diesen Preis. Dann kommt der Dezember und ist entweder ruhiger oder voller als die Zahl, und der Plan war für keinen der beiden Fälle gebaut.

Stochastische Optimierung heißt die Art zu planen, die das von Anfang an zugibt. "Stochastisch" bedeutet einfach zufällig. Statt einer Prognose schreibst du mehrere Arten auf, wie der Monat laufen könnte, gibst jeder eine Wahrscheinlichkeit und wählst die Budgetaufteilung oder den Preis, der über alle zusammen am besten abschneidet. Das klingt nach großer Theorie. In der Praxis ist es eine sorgfältige Tabelle mit ein paar ehrlichen Spalten.

Ich nehme durchgehend ein erfundenes Unternehmen. Elbkerze ist ein kleiner Onlineshop für Kerzen in Hamburg, geführt von Lena, erreichbar unter elbkerze.example. Sie wirbt in der Google Suche und auf Meta (Facebook und Instagram). Lena gibt es nicht, und jede Zahl unten ist erfunden, damit ich jeden Schritt zeigen kann.

Schreib die Unsicherheit als Szenarien mit Wahrscheinlichkeiten auf

Der erste Schritt ist, nicht mehr so zu tun, als wüsstest du, wie der Monat wird. Ein Szenario ist eine vollständige Geschichte davon, wie er laufen könnte, zum Beispiel ruhig, normal oder stark. Jedes bekommt eine Wahrscheinlichkeit, und die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1, weil genau eine Geschichte wahr wird. So geht die stochastische Programmierung in der Praxis mit Unsicherheit um: Szenarien formulieren und jedem eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.¹

Damit ändert sich das Ziel. Du fragst nicht mehr "was ist am besten, wenn die Prognose stimmt?". Du fragst "was ist im Schnitt über alle Geschichten am besten, gewichtet danach, wie wahrscheinlich jede ist?".

$$\max_{x} \; \sum_{k=1}^{K} p_k \, f(x, \omega_k) \quad \text{unter den Bedingungen} \quad \sum_{i=1}^{n} x_i \le B, \quad x_i \ge 0$$

Dabei ist $x$ dein Plan, also die Liste der Beträge $x_1, \dots, x_n$, die du auf jeden der $n$ Kanäle verteilst. $\max_{x}$ heißt "wähle den Plan, der das Folgende so groß wie möglich macht". Die Summe $\sum_{k=1}^{K}$ läuft über die $K$ Szenarien, $p_k$ ist die Wahrscheinlichkeit von Szenario $k$, $\omega_k$ (der griechische Buchstabe Omega) steht für alles, was in Szenario $k$ gilt, und $f(x, \omega_k)$ ist der Gewinn, den dein Plan bringt, wenn Szenario $k$ eintritt. Die Bedingung $\sum_{i=1}^{n} x_i \le B$ sagt, dass die Ausgaben über alle Kanäle zusammen im Budget $B$ bleiben, und $x_i \ge 0$ sagt, dass du keinen negativen Betrag ausgeben kannst. Die gewichtete Summe ist ein Erwartungswert, von Grund auf erklärt in Grundlagen: der Erwartungswert, die Wahrscheinlichkeiten selbst in Grundlagen: Wahrscheinlichkeit.

Rechenbeispiel: drei Arten, wie Lenas Dezember laufen könnte

Lena schaut auf drei vergangene Weihnachtsgeschäfte zurück und spricht mit ihrem Lieferanten über den Markt. Sie legt drei Szenarien für den Dezember fest:

Szenario	Wahrscheinlichkeit	Google Suche bringt	Meta bringt
Ruhig	25 %	80 % vom Normalwert	50 % vom Normalwert
Normal	50 %	den Normalwert	den Normalwert
Stark	25 %	120 % vom Normalwert	150 % vom Normalwert

Also ist $K = 3$, mit $p_{\text{ruhig}} = 0{,}25$, $p_{\text{normal}} = 0{,}5$ und $p_{\text{stark}} = 0{,}25$. Zusammen ergeben sie 1, wie es sein muss.

Meta schwankt deutlich stärker als die Suche. Das passt zu dem, was ich in den Shops sehe, an denen ich gearbeitet habe: Die Suche erreicht Leute, die schon nach Kerzen suchen, sie geht also mit der Saison. Social Ads hängen davon ab, ob ein Motiv zündet oder floppt, und schlagen deshalb in beide Richtungen stärker aus.

Außerdem kommt im Schnitt genau der Normalwert heraus. Für die Suche gilt $0{,}25 \times 0{,}8 + 0{,}5 \times 1{,}0 + 0{,}25 \times 1{,}2 = 0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1{,}0$. Für Meta gilt $0{,}25 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 1{,}0 + 0{,}25 \times 1{,}5 = 0{,}125 + 0{,}5 + 0{,}375 = 1{,}0$. Das habe ich absichtlich so gebaut. Später können wir damit einen Plan für den Durchschnittsmonat fair mit einem Plan für alle drei Szenarien vergleichen.

Werbung bringt mit jedem weiteren Euro weniger

Bevor du ein Budget aufteilst, musst du wissen, was jeder Kanal bei welcher Ausgabe zurückgibt. Die ersten Euro auf einem Kanal erreichen die Leute, die am ehesten kaufen. Jeder weitere Euro erreicht Leute, die etwas weniger wahrscheinlich kaufen, die Kurve steigt also erst schnell und flacht dann ab. Forscher bei Google beschreiben Werbung als Größe mit abnehmendem Ertrag, den einfache lineare Modelle schlecht abbilden.²

Eine einfache Form für so eine Kurve ist diese:

$$R_i(x_i) = a_i \left(1 - e^{-b_i x_i}\right)$$

Dabei ist $R_i(x_i)$ der Umsatz, den Kanal $i$ bringt, wenn du $x_i$ dafür ausgibst. Der Buchstabe $a_i$ ist die Obergrenze, also der höchste Umsatz, den der Kanal je bringen könnte, egal wie viel du ausgibst. Der Buchstabe $e$ ist die Basis des natürlichen Logarithmus, etwa 2,7183, und $e^{-b_i x_i}$ beginnt bei 1, wenn du nichts ausgibst, und schrumpft mit steigender Ausgabe gegen 0. Damit klettert $1 - e^{-b_i x_i}$ von 0 in Richtung 1. Der Buchstabe $b_i$ bestimmt, wie schnell der Kanal sättigt: Je größer er ist, desto früher flacht die Kurve ab. Exponentialfunktion und Logarithmus erkläre ich in Grundlagen: Logarithmen.

Für Entscheidungen zählt nicht die Höhe der Kurve, sondern ihre Steigung: der Umsatz aus dem nächsten Euro. Das ist der Grenzertrag.

$$\frac{dR_i}{dx_i} = a_i \, b_i \, e^{-b_i x_i}$$

Dabei ist $\frac{dR_i}{dx_i}$ die Steigung der Kurve bei der Ausgabe $x_i$, also der zusätzliche Umsatz, den ein weiterer Euro bringt, und $a_i$, $b_i$ und $e^{-b_i x_i}$ sind wie oben. Bei null Ausgabe ist die Steigung $a_i b_i$, und sie fällt, je mehr du ausgibst. Den Unterschied zwischen dem nächsten Euro und dem durchschnittlichen Euro findest du in Grundlagen: Grenzwert und Durchschnitt.

Rechenbeispiel: Lenas zwei Kurven

Aus ihren bisherigen Kampagnen schätzt Lena die Kurven für einen normalen Dezember. Für die Google Suche liegt die Obergrenze bei $a_S = 60.000$ und die Sättigungsrate bei $b_S = 0{,}0002$ (ein Fünftausendstel). Für Meta liegt die Obergrenze bei $a_M = 40.000$ und $b_M = 0{,}000125$ (ein Achttausendstel).

Gibt sie 5.000 € für die Suche aus, ergibt das $R_S = 60.000 \times (1 - e^{-0{,}0002 \times 5.000}) = 60.000 \times (1 - e^{-1}) = 60.000 \times (1 - 0{,}3679) = 37.927$. Also 37.927 € Umsatz.

Jetzt die Grenzerträge der Suche. Bei 0 € ist $a_S b_S = 60.000 \times 0{,}0002 = 12$, der erste Euro bringt also 12 €. Bei 5.000 € sind es $12 \times e^{-1} = 12 \times 0{,}3679 = 4{,}41$. Bei 10.000 € sind es $12 \times e^{-2} = 12 \times 0{,}1353 = 1{,}62$.

Auf Meta bringt der erste Euro $40.000 \times 0{,}000125 = 5$, also 5 €. Bei 5.000 € sind es $5 \times e^{-0{,}625} = 5 \times 0{,}5353 = 2{,}68$. Bei 10.000 € sind es $5 \times e^{-1{,}25} = 5 \times 0{,}2865 = 1{,}43$.

Die waagrechte Achse zeigt, was Lena in einem Monat auf einem Kanal ausgibt, von nichts bis 16.000 €. Die senkrechte Achse zeigt den Umsatz, den diese Ausgabe in einem normalen Dezember bringt. Das Entscheidende steckt in der Form: Die ersten 2.000 € in der Suche bringen fast 20.000 €, der Schritt von 14.000 € auf 16.000 € bringt nur noch etwa 1.200 € dazu. Dasselbe Budget kann gut angelegt oder verschwendet sein, je nachdem, wo auf der Kurve es landet.

Die beste Aufteilung gibt jedem Kanal denselben Ertrag für den nächsten Euro

Bei festem Budget lautet die Frage, wie du es aufteilst. Die Antwort ist eine Regel, die sich leicht sagen lässt: Schieb Geld immer zu dem Kanal, der aus seinem nächsten Euro mehr macht, bis der nächste Euro überall gleich viel bringt. Würde die Suche am Rand noch mehr bringen als Meta, könntest du einen Euro von Meta zur Suche schieben und den Umsatz erhöhen. Die Aufteilung wäre also noch nicht die beste.

Die Mathematik hinter der Regel ist die Lagrangefunktion, ein Weg, die Budgetgrenze in das hineinzurechnen, was du maximierst. Im besten Plan ist der Grenzertrag jedes Kanals gleich einer gemeinsamen Zahl, geschrieben $\lambda$.³

$$a_S \, b_S \, e^{-b_S x_S} = a_M \, b_M \, e^{-b_M x_M} = \lambda, \qquad x_S + x_M = B$$

Dabei sind $x_S$ und $x_M$ die Ausgaben für die Suche und für Meta, und $a_S$, $b_S$, $a_M$ und $b_M$ sind die Kurvenwerte von vorhin, jede Seite ist also der Grenzertrag eines Kanals. Der griechische Buchstabe $\lambda$ (Lambda) ist der gemeinsame Grenzertrag, bei dem beide Kanäle am Ende landen, und $B$ ist das Gesamtbudget. Die Grundlage steht in Grundlagen: Grenzwert und Durchschnitt und, für den Logarithmus, mit dem du die Gleichung löst, in Grundlagen: Logarithmen.

Rechenbeispiel: 10.000 € für einen normalen Dezember aufteilen

Angenommen, Lena hat 10.000 €. Die Regel verlangt $12 \, e^{-0{,}0002 x_S} = 5 \, e^{-0{,}000125 x_M}$ mit $x_M = 10.000 - x_S$.

Nimm auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus. Der Logarithmus hebt das $e$ auf, die Gleichung wird also zu $\ln 12 - 0{,}0002 \, x_S = \ln 5 - 0{,}000125 \, (10.000 - x_S)$.

Setz die Zahlen ein: $\ln 12 = 2{,}4849$ und $\ln 5 = 1{,}6094$, dazu $0{,}000125 \times 10.000 = 1{,}25$. Also $2{,}4849 - 0{,}0002 \, x_S = 1{,}6094 - 1{,}25 + 0{,}000125 \, x_S$.

Bring die Glieder mit $x_S$ auf eine Seite: $2{,}4849 - 0{,}3594 = 0{,}000325 \, x_S$, also $2{,}1255 = 0{,}000325 \, x_S$ und $x_S = 6.540$. Bleiben $x_M = 3.460$.

Zur Probe: In der Suche bringt der nächste Euro $12 \times e^{-1{,}308} = 12 \times 0{,}2704 = 3{,}24$. Auf Meta bringt er $5 \times e^{-0{,}4325} = 5 \times 0{,}6489 = 3{,}24$. Gleich, wie die Regel es verlangt, also ist $\lambda = 3{,}24$.

Der Umsatz bei dieser Aufteilung ist $60.000 \times (1 - 0{,}2704) + 40.000 \times (1 - 0{,}6489) = 43.778 + 14.045 = 57.823$. Eine gleichmäßige Aufteilung mit je 5.000 € bringt $37.927 + 18.590 = 56.517$. Dasselbe Geld, 1.306 € mehr Umsatz, nur weil es dort steht, wo der nächste Euro mehr leistet.

Der Schattenpreis sagt, was mehr Budget wert ist

Die gemeinsame Zahl $\lambda$ hat eine zweite Bedeutung, und sie ist die nützlichste Zahl der ganzen Übung. Sie ist der Schattenpreis des Budgets: ungefähr, um wie viel das bestmögliche Ergebnis steigt, wenn du das Budget um einen Euro lockerst.³ Sie beantwortet die Frage, die jede Geschäftsführerin und jeder Geschäftsführer stellt und kaum ein Dashboard beantwortet: Lohnt es sich, mehr auszugeben?

Umsatz ist allerdings kein Gewinn. Um aus dem Schattenpreis eine Entscheidung zu machen, multiplizierst du ihn mit der Rohertragsmarge, also dem Anteil jedes Umsatzeuros, der nach den Kosten der Ware übrig bleibt.

$$\text{Zusatzgewinn je zusätzlichem Euro} = m \, \lambda - 1$$

Dabei ist $m$ die Rohertragsmarge als Bruch, $\lambda$ der Umsatz, den der nächste Euro Budget bei der besten Aufteilung bringt, $m \lambda$ also der Rohertrag, den er bringt, und die 1 ist der Euro selbst. Liegt das Ergebnis über null, lohnt sich mehr Budget. Die Idee ist dieselbe wie in Grundlagen: Grenzwert und Durchschnitt.

Rechenbeispiel: Soll Lena mehr als 10.000 € ausgeben

Lenas Rohertragsmarge liegt bei 50 %, also $m = 0{,}5$. Bei 10.000 € ist der Schattenpreis $\lambda = 3{,}24$, der nächste Euro bringt also $0{,}5 \times 3{,}24 - 1 = 1{,}62 - 1 = 0{,}62$, einen Gewinn von 62 Cent. Mehr Budget lohnt sich.

Wie weit? Bis $m \lambda = 1$, also bis $\lambda = 1 / 0{,}5 = 2$. In der Suche ist das der Fall, wenn $12 \, e^{-0{,}0002 x_S} = 2$, also $e^{-0{,}0002 x_S} = 1/6$, also $x_S = \ln 6 / 0{,}0002 = 1{,}7918 / 0{,}0002 = 8.959$. Auf Meta gilt $5 \, e^{-0{,}000125 x_M} = 2$, also $x_M = \ln 2{,}5 / 0{,}000125 = 0{,}9163 / 0{,}000125 = 7.330$. Zusammen: 16.289 €.

Bei dieser Ausgabe bringt der normale Dezember $60.000 \times (1 - 1/6) + 40.000 \times (1 - 0{,}4) = 50.000 + 24.000 = 74.000$ Umsatz. Und hier stößt der Plan auf die Wirklichkeit. Lena kann im Dezember höchstens Kerzen im Wert von 65.000 € gießen, verpacken und verschicken. Alles darüber wird erstattet oder enttäuscht. Der Schattenpreis lag bei den Kurven richtig und beim Shop daneben.

Wer mit dem Durchschnittsmonat plant, überschätzt den Durchschnittsmonat

Also nimmt Lena die Grenze dazu: Umsatz zählt nur bis 65.000 €. Der naheliegende nächste Schritt ist, für den durchschnittlichen Dezember zu planen, hier also den normalen, und so viel auszugeben, bis der Umsatz gerade 65.000 € erreicht. So planen fast alle Unternehmen. Der Plan hat einen Fehler, und der Fehler hat einen Namen.

Sam Savage nennt ihn den Fehler der Durchschnitte (Flaw of Averages): Pläne, die auf durchschnittlichen Bedingungen beruhen, gehen meistens schief.⁴ Der Grund ist, dass eine Grenze die guten Monate abschneidet, die schlechten aber nicht. Ein starker Monat kann nicht mehr verkaufen als die Obergrenze erlaubt, ein ruhiger Monat kann dagegen beliebig tief fallen. Erst die Eingaben zu mitteln und dann das Ergebnis auszurechnen ist nicht dasselbe, wie das Ergebnis in jedem Szenario auszurechnen und dann zu mitteln. Sobald es eine Obergrenze, eine Schwelle oder eine Kurve gibt, gehen die beiden auseinander.

Die Lösung ist, jeden möglichen Plan in jedem Szenario zu bewerten. Genau das macht die Szenarioformel vom Anfang. Der Abstand zwischen dem Plan, der auf allen Szenarien beruht, und dem Plan, der auf dem Durchschnitt beruht, beide über alle Szenarien bewertet, heißt Wert der stochastischen Lösung.¹

$$\text{Gewinn}_k = m \times \min\left(R_k, \, C\right) - B$$

Dabei ist $\text{Gewinn}_k$ der Gewinn nach Werbekosten in Szenario $k$, $m$ die Rohertragsmarge, $R_k$ der Umsatz, den die Werbung in Szenario $k$ bringen würde, und $C$ die Kapazitätsgrenze. $\min(R_k, C)$ heißt "der kleinere der beiden Werte", Umsatz über der Grenze zählt also nicht, und $B$ ist die gesamte Werbeausgabe. Den Gewinn jedes Szenarios gewichtest du dann mit seiner Wahrscheinlichkeit, wie in Grundlagen: der Erwartungswert.

Rechenbeispiel: der Durchschnittsplan gegen den Szenarioplan

Der Durchschnittsplan sind 7.500 € für die Suche und 5.000 € für Meta, zusammen 12.500 €. In einem normalen Dezember bringt die Suche $60.000 \times (1 - e^{-1{,}5}) = 60.000 \times 0{,}7769 = 46.612$ und Meta $40.000 \times (1 - e^{-0{,}625}) = 18.590$, zusammen 65.202 €. Gedeckelt bei 65.000 € ist der Gewinn $0{,}5 \times 65.000 - 12.500 = 20.000$. Das verspricht der Plan.

Jetzt bewertest du denselben Plan in jedem Szenario. Im ruhigen Monat bringt die Suche 80 % und Meta 50 %: $0{,}8 \times 46.612 + 0{,}5 \times 18.590 = 37.290 + 9.295 = 46.585$, der Gewinn ist also $0{,}5 \times 46.585 - 12.500 = 10.792$. Im normalen Monat sind es 20.000 € wie oben. Im starken Monat würde die Werbung 83.819 € bringen, aber die Grenze hält den Umsatz bei 65.000 €, der Gewinn ist also wieder 20.000 €.

Gewichtet: $0{,}25 \times 10.792 + 0{,}5 \times 20.000 + 0{,}25 \times 20.000 = 2.698 + 10.000 + 5.000 = 17.698$. Der Plan hat 20.000 € versprochen. Ehrlich erwarten kannst du 17.698 €. Der starke Monat kann den ruhigen nicht ausgleichen, weil die Grenze ihm das Plus genommen hat.

Jetzt der Szenarioplan. Ich lasse eine Tabelle jede Aufteilung in Schritten von 100 € durchprobieren, jede in allen drei Szenarien bewerten und den besten erwarteten Gewinn behalten. Sie landet bei 7.200 € für die Suche und 3.600 € für Meta, zusammen 10.800 €. Im normalen Monat bringt das $45.784 + 14.495 = 60.279$, der Gewinn ist also $0{,}5 \times 60.279 - 10.800 = 19.340$. Im ruhigen Monat sind es $0{,}8 \times 45.784 + 0{,}5 \times 14.495 = 36.627 + 7.247 = 43.875$, Gewinn $21.937 - 10.800 = 11.137$. Im starken Monat greift wieder die Grenze: $0{,}5 \times 65.000 - 10.800 = 21.700$.

Gewichtet: $0{,}25 \times 11.137 + 0{,}5 \times 19.340 + 0{,}25 \times 21.700 = 2.784 + 9.670 + 5.425 = 17.879$.

Der Szenarioplan gibt also 1.700 € weniger aus, verdient im Schnitt 181 € mehr und schneidet im ruhigen Monat besser ab. Die zusätzlichen 1.700 € des Durchschnittsplans kaufen vor allem Umsatz im starken Monat, und genau dort wirft die Grenze ihn weg.

Ich will bei der Größenordnung ehrlich sein. 181 € im Monat sind kein Vermögen. Der größere Gewinn ist die Lücke von 2.302 € zwischen dem, was der Durchschnittsplan versprochen hat, und dem, was er wirklich liefern würde. Das ist die Zahl, die ein Unternehmen davon abhält, eine Warenbestellung oder eine Einstellung auf einen Gewinn zu bauen, der nie gekommen wäre. Und ohne die Grenze, wenn nur die Obergrenzen der Kurven unsicher wären, hätte der Durchschnittsplan genau gestimmt, weil die Kurven gemeinsam nach oben und unten skalieren. Szenarien lohnen sich, wenn etwas das Ergebnis abschneidet oder verbiegt: Lagerbestand, Kapazität, eine Mindestbestellung, ein Vertrag.

Hinter demselben Durchschnitt kann ein sehr unterschiedlicher schlechter Monat stecken

Der erwartete Gewinn ist ein Durchschnitt auf lange Sicht. Lena hat einen Dezember im Jahr. Zwei Pläne mit fast gleichem Durchschnitt können sie sehr unterschiedlich dastehen lassen, wenn der ruhige Monat kommt. Als Nächstes schaust du dir also die Streuung der Ergebnisse an. Das übliche Maß ist die Standardabweichung: wie weit das Ergebnis typischerweise von seinem Durchschnitt entfernt landet.⁵

$$\sigma = \sqrt{\sum_{k=1}^{K} p_k \left(\text{Gewinn}_k - E[\text{Gewinn}]\right)^2}$$

Dabei ist $\sigma$ (Sigma) die Standardabweichung, $p_k$ die Wahrscheinlichkeit von Szenario $k$, $\text{Gewinn}_k$ der Gewinn in diesem Szenario und $E[\text{Gewinn}]$ der erwartete Gewinn. Jeder Abstand zum Durchschnitt wird quadriert, damit sich Abstände nach oben und unten nicht aufheben, mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet und aufsummiert, und die Wurzel bringt das Ergebnis zurück in Euro. Die Idee baue ich in Grundlagen: Streuung und Grundlagen: Verteilungen auf.

Rechenbeispiel: drei Arten, 10.800 € auszugeben

Beim Szenarioplan sind die Abstände zu 17.879 € zuerst $11.137 - 17.879 = -6.742$, dann $19.340 - 17.879 = 1.461$, dann $21.700 - 17.879 = 3.821$. Quadriert: 45.454.564, dann 2.134.521, dann 14.600.041. Gewichtet: $0{,}25 \times 45.454.564 + 0{,}5 \times 2.134.521 + 0{,}25 \times 14.600.041 = 11.363.641 + 1.067.261 + 3.650.010 = 16.080.912$. Die Wurzel daraus ist etwa 4.010, die Standardabweichung liegt also bei etwa 4.010 €.

Dieselben Schritte für zwei andere Aufteilungen derselben 10.800 € ergeben dieses Bild:

Aufteilung (Suche, Meta)	Erwarteter Gewinn	Ruhiger Monat	Standardabweichung
5.400 €, 5.400 € (gleichmäßig)	17.329 €	9.958 €	4.414 €
7.200 €, 3.600 € (bester Durchschnitt)	17.879 €	11.137 €	4.010 €
8.400 €, 2.400 € (vorsichtig)	17.651 €	11.319 €	3.844 €

Die gleichmäßige Aufteilung ist in jeder Hinsicht schlechter. Das ist wichtig zu wissen, weil genau sie gewählt wird, wenn niemand nachgerechnet hat. Die vorsichtige Aufteilung gibt 228 € erwarteten Gewinn auf, damit der ruhige Monat 182 € besser ausfällt und die Streuung kleiner wird, weil die Suche weniger schwankt als Meta.

Welche du wählst, ist keine Frage der Mathematik. Es kommt darauf an, was ein ruhiger Dezember mit dem Unternehmen machen würde. Wenn 11.137 € die Januarmiete locker decken, nimm den höheren Durchschnitt. Wenn im ruhigen Monat jeder Euro zählt, ist die vorsichtige Aufteilung ein fairer Preis für ruhigen Schlaf. Wie man diese Abwägung trifft, habe ich in Entscheidungstheorie für Gründer beschrieben.

Preise unter Unsicherheit beginnen beim Gewinn, nicht beim Umsatz

Dasselbe Denken gilt für Preise, mit einer Korrektur vorweg. Ein verbreiteter Ansatz, und einer, den ich selbst einmal so aufgesetzt habe, maximiert den erwarteten Umsatz: Preis mal erwartete Nachfrage. Mit der üblichen Nachfragekurve führt das nirgendwohin.

Die übliche Kurve ist die Nachfrage mit konstanter Elastizität, bei der eine Preiserhöhung um 1 % die Nachfrage immer um denselben Prozentsatz senkt:

$$D(p) = \alpha \, p^{-\beta}$$

Dabei ist $D(p)$ die Zahl der verkauften Stück beim Preis $p$, $\alpha$ (Alpha) bestimmt die Größe des Marktes und $\beta$ (Beta) ist die Preiselastizität, also wie stark die Nachfrage fällt, wenn der Preis steigt. Der Umsatz ist dann $p \times \alpha p^{-\beta} = \alpha p^{1-\beta}$. Liegt $\beta$ über 1, wie bei den meisten Produkten im Handel, steigt der Umsatz mit jeder Preissenkung, bis hinunter zum Verschenken. Die Elastizität erkläre ich in Grundlagen: Elastizität.

Maximieren willst du den Gewinn, also Preis minus Stückkosten, mal Stückzahl. Tust du das, fällt eine klare Regel heraus, die Aufschlagsregel aus jeder Einführung in die Volkswirtschaft: Der beste Preis liegt um einen Aufschlag über den Kosten, der nur von der Elastizität abhängt.⁶

$$p^{*} = c \times \frac{\beta}{\beta - 1}$$

Dabei ist $p^{*}$ der gewinnmaximale Preis, $c$ die Kosten für ein weiteres Stück und $\beta$ die Elastizität von vorhin, die über 1 liegen muss, damit die Regel eine Antwort gibt. Zwei Dinge folgen daraus. Je preisempfindlicher die Kundschaft (je größer $\beta$), desto näher liegt der Preis an den Kosten. Und $\alpha$, die Größe des Marktes, kommt gar nicht vor. Die Grundlage steht in Grundlagen: Elastizität.

Der zweite Punkt ist für die Unsicherheit entscheidend. Bist du nur unsicher, wie groß der Dezember wird, bewegt sich der beste Preis nicht. Was den besten Preis bewegt, ist Unsicherheit darüber, wie empfindlich die Kundschaft auf den Preis reagiert.

Rechenbeispiel: Der Umsatz sagt, verschenk es

Lenas Geschenkset mit drei Kerzen kostet sie 12 € in Herstellung und Versand. Bei 24 € rechnet sie mit 1.000 verkauften Sets, und in einem typischen Jahr liegt ihre Elastizität bei $\beta = 2$. Der Umsatz bei 24 € ist 24.000 €. Bei 20 € würde sie $1.000 \times (20/24)^{-2} = 1.000 \times 1{,}44 = 1.440$ Sets verkaufen, für 28.800 €. Bei 12 € würde sie $1.000 \times 2^{2} = 4.000$ Sets verkaufen, für 48.000 € Umsatz und genau 0 € Gewinn.

Der Gewinn sagt die Wahrheit. Die Aufschlagsregel ergibt $p^{*} = 12 \times \frac{2}{2 - 1} = 24$. Bei 24 € ist der Gewinn $(24 - 12) \times 1.000 = 12.000$. Bei 20 € ist er $(20 - 12) \times 1.440 = 11.520$, also niedriger.

Rechenbeispiel: Preise setzen, wenn die Elastizität unsicher ist

Lena ist nicht sicher, ob das typische Jahr gilt. Sie schreibt drei Szenarien auf, in jedem verkauft sie bei 24 € genau 1.000 Sets: preisempfindliche Kundschaft ($\beta = 3$, 25 %), typische ($\beta = 2$, 50 %) und treue ($\beta = 1{,}5$, 25 %). Die Aufschlagsregel ergibt in jedem einen anderen besten Preis: $12 \times 3/2 = 18$, dann $12 \times 2/1 = 24$, dann $12 \times 1{,}5/0{,}5 = 36$.

Drucken kann sie nur einen Preis. Also bewertet sie mögliche Preise in allen drei Szenarien, mit der Nachfrage $1.000 \times (p/24)^{-\beta}$.

Bei 22 € ist $22/24 = 0{,}9167$. Preisempfindlich: $0{,}9167^{-3} = 1{,}298$, also 1.298 Sets und ein Gewinn von $10 \times 1.298 = 12.983$. Typisch: $0{,}9167^{-2} = 1{,}190$, also 1.190 Sets und 11.901 €. Treu: $0{,}9167^{-1{,}5} = 1{,}139$, also 1.139 Sets und 11.394 €. Gewichtet: $0{,}25 \times 12.983 + 0{,}5 \times 11.901 + 0{,}25 \times 11.394 = 3.246 + 5.951 + 2.849 = 12.045$.

Dieselben Schritte bei den Szenariopreisen: Bei 18 € ist der erwartete Gewinn 11.199 €, bei 24 € sind es 12.000 € und bei 36 € 10.377 €. Sucht man in Schritten von einem Cent, liegt der beste erwartete Gewinn, 12.051 €, bei 22,48 €.

Zwei Lehren. Erstens ist die Gewinnkurve oben flach: Alles zwischen 22 € und 24 € bringt bis auf etwa 50 € den besten Wert. Zweitens entsteht der Schaden, wenn du auf ein extremes Szenario setzt. Ein Preis für treue Kundschaft bei 36 € kostet im Schnitt 1.674 € gegenüber dem besten, ein Preis für Schnäppchenjäger bei 18 € kostet 852 €. Die Szenarien finden keinen Zauberpreis. Sie verhindern eine selbstsichere Wette am Rand.

Jetzt entscheiden, später nachsteuern

Bisher legt Lena den ganzen Dezemberplan am 1. Dezember fest. Echte Budgets funktionieren so nicht. Werbebudget lässt sich Woche für Woche verschieben, und Ware lässt sich nachbestellen. Die stochastische Programmierung nennt das Recourse: die Möglichkeit, korrigierend einzugreifen, nachdem ein Zufallsereignis eingetreten ist.¹ Du triffst die erste Entscheidung jetzt, siehst, was passiert, und triffst die zweite mit besseren Informationen. Wer so plant, löst ein zweistufiges Problem.

Am einfachsten siehst du, was Recourse wert ist, am Extremfall. Angenommen, Lena wüsste am 1. Dezember, welches Szenario kommt. Dann würde sie den besten Plan nur für dieses Szenario wählen. Mittelt man diese besten Ergebnisse über die Wahrscheinlichkeiten, ergibt sich die Obergrenze: Kein noch so kluger Prüfprozess kann es schlagen, die Zukunft zu kennen.

Rechenbeispiel: was eine Prüfung Mitte Dezember wert sein könnte

Mit derselben Tabellensuche ist der beste Plan für jedes Szenario allein: ruhig, 7.800 € für die Suche und 1.800 € für Meta, mit 11.372 € Gewinn. Normal, 7.500 € und 4.900 €, mit 20.066 €. Stark, 5.700 € und 2.500 €, mit 24.300 €, weil in einem starken Monat schon eine viel kleinere Ausgabe die 65.000 € Kapazität füllt.

Gewichtet: $0{,}25 \times 11.372 + 0{,}5 \times 20.066 + 0{,}25 \times 24.300 = 2.843 + 10.033 + 6.075 = 18.951$.

Der Szenarioplan verdient 17.879 €. Perfekte Voraussicht wäre also höchstens $18.951 - 17.879 = 1.072$ im Monat wert. Das deckelt, was eine wöchentliche Prüfung wert ist. Nach meiner Erfahrung holt eine Prüfung nach den ersten zehn Dezembertagen einen guten Teil davon zurück, vor allem indem sie Meta in einem ruhigen Monat früh kürzt und beide Kanäle kürzt, sobald ein starker Monat klar auf die Kapazitätsgrenze zuläuft. Kostet ein Prognosetool für diese Entscheidung mehr als 1.072 € im Monat, hat die Rechnung schon nein gesagt.

Was diese Methode nicht für dich erledigt

Sie kennt deine Kurven nicht. Jede Zahl oben beruht auf den Ertragskurven und den Wahrscheinlichkeiten der Szenarien, und das sind Schätzungen. Ehrlich bekommst du sie aus vergangenen Daten plus gezielten Tests, die ich in wie viele Daten du wirklich brauchst beschreibe und, für Preise, in Nachfrage und Preiselastizität mit Regression modellieren. Die Forschung von Google zum Media Mix hält fest, dass bei kleinen Stichproben die Annahmen, mit denen du startest, die Antwort stark prägen.²

Sie braucht auch keine schweren Werkzeuge. Für zwei oder drei Kanäle und eine Handvoll Szenarien reicht eine Tabelle, die jede Aufteilung in sinnvollen Schritten durchprobiert. Gradientenverfahren und große Solver brauchst du, wenn es Dutzende Kanäle, Tausende Szenarien oder tägliche Entscheidungen gibt, und das hat ein kleiner Shop selten.

Und sie nimmt dir das Risiko nicht ab. Lena kann jeden Schritt machen und trotzdem einen ruhigen Dezember erleben. Die Methode bringt den ruhigen Dezember aufs Papier, bevor er passiert, gibt ihm einen Preis und verhindert, dass der Plan ihn stillschweigend wegrechnet.

Das Diagramm ist die ganze Methode auf einer Seite. Es beginnt mit der ehrlichen Liste, wie der Monat laufen könnte, nimmt dazu, was jeder Kanal bringt und was der Shop physisch schafft, und vergleicht erst dann Pläne, immer in jedem Szenario bewertet und nie nur im Durchschnitt. Der Entscheidungsschritt ist die Risikoprüfung aus der Tabelle mit den drei Aufteilungen, und der letzte Schritt ist der Recourse: Kein Plan ist fertig, bevor der Monat gezeigt hat, welches Szenario er ist.

Footnotes

1. NEOS Guide, Stochastic Programming, https://neos-guide.org/guide/types/stochastic/

2. Yuxue Jin, Yueqing Wang, Yunting Sun, David Chan und Jim Koehler, Bayesian Methods for Media Mix Modeling with Carryover and Shape Effects, Google, 2017, https://research.google/pubs/bayesian-methods-for-media-mix-modeling-with-carryover-and-shape-effects/

3. Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Abschnitte 5.4.4 (price interpretation und shadow prices) und 5.6.3 (local sensitivity analysis), Cambridge University Press, 2004, https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf

4. Sam Savage, The Flaw of Averages, Harvard Business Review, November 2002, https://hbr.org/2002/11/the-flaw-of-averages

5. Barbara Illowsky und Susan Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation, OpenStax, Rice University, Houston, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-2-mean-or-expected-value-and-standard-deviation

6. Robert S. Pindyck, Lecture Notes on Pricing, 15.013 Industrial Economics for Strategic Decisions, MIT Sloan School of Management, August 2010, https://www.mit.edu/~rpindyck/Courses/Pricing_10.pdf