Grundlagen: die Statistik und Mathematik hinter jedem Artikel, von Grund auf

Diese Seite ist das Erdgeschoss. Jede Formel in jedem Artikel im Intelligence Blog verlinkt auf einen Abschnitt hier, und hier fängt jeder Abschnitt bei null an: ein Absatz, was die Idee ist und welche Frage sie beantwortet, die Formel, jedes Zeichen darin erklärt, ein Rechenbeispiel mit jedem Zwischenschritt, und der eine Fehler, den ich damit in Unternehmen immer wieder sehe. Du musst nichts vorher gelesen haben. Wenn du Mathematik zuletzt in der Schule gesehen hast, bist du genau richtig. Wenn du seit zwanzig Jahren Software baust, nickst du hoffentlich an den richtigen Stellen.

Alle Zahlen in den Rechenbeispielen sind erfunden. Der rote Faden ist ein ausgedachter Onlineshop namens Korbwerk aus Hamburg, der Geschenkkörbe verkauft und im letzten Dezember 1.000 Bestellungen hatte. Die Inhaberin heißt Lena. Es gibt sie nicht, es gibt den Shop nicht, und keines der Beispiele stammt aus einem Kundenprojekt. Die Definitionen dahinter stammen aus frei zugänglichen Lehrbüchern, vor allem dem Statistik Lehrbuch von OpenStax, und aus dem Standardwerk von Fahrmeir und Kollegen, und ich verweise bei jeder Idee einmal auf die Quelle.¹ Jeder Abschnitt hat eine feste Adresse, zum Beispiel die Adresse des Mittelwerts, und genau dorthin verlinken die Artikel. Die Seite wächst: braucht ein späterer Artikel eine Idee, die hier fehlt, kommt sie zuerst hier dazu.

Prozent, und was ein Prozentpunkt ist

Ein Prozent ist ein Hundertstel. "Prozent" heißt wörtlich "von Hundert", und genau so lese ich jede Prozentzahl: 2,5 % sind 2,5 von 100, also 25 von 1.000. Das klingt banal, aber fast jeder Streit über Zahlen in einem Unternehmen beginnt damit, dass zwei Leute "Prozent" sagen und zwei verschiedene Dinge meinen. Es gibt nämlich zwei Arten, eine Veränderung zwischen zwei Prozentzahlen zu beschreiben. Der Unterschied in Prozentpunkten ist die schlichte Differenz: von 2,0 % auf 2,5 % sind es 0,5 Prozentpunkte. Die Veränderung in Prozent setzt denselben Unterschied ins Verhältnis zum Ausgangswert, und das ist eine ganz andere Zahl.² Die Frage, die diese Formel beantwortet, lautet: um wie viel hat sich etwas verändert, gemessen an dem, was vorher da war?

$$\Delta\% = \frac{v_{\text{neu}} - v_{\text{alt}}}{v_{\text{alt}}} \times 100$$

Dabei ist $\Delta\%$ die Veränderung in Prozent (das griechische Delta steht in der Mathematik fast immer für "Unterschied"), $v_{\text{neu}}$ der neue Wert, $v_{\text{alt}}$ der alte Wert, und die Multiplikation mit $100$ macht aus dem Bruch eine Prozentzahl. Der Nenner ist immer der alte Wert, nie der neue. Das ist die ganze Regel, und sie wird trotzdem ständig gebrochen.

Rechenbeispiel: wie viel die Conversion bei Korbwerk wirklich gestiegen ist

Im November lag die Conversion Rate von Korbwerk (der Anteil der Besucher, die bestellen, erklärt im nächsten Abschnitt zu Quoten und Raten) bei 2,0 %. Im Dezember lag sie bei 2,5 %. Lena will wissen, was sie ihrem Steuerberater erzählt.

Schritt eins, der Unterschied in Prozentpunkten: $2{,}5 - 2{,}0 = 0{,}5$. Die Conversion Rate ist um 0,5 Prozentpunkte gestiegen.

Schritt zwei, die Veränderung in Prozent nach der Formel: der neue Wert ist 2,5, der alte Wert ist 2,0.

$$\Delta\% = \frac{2{,}5 - 2{,}0}{2{,}0} \times 100 = \frac{0{,}5}{2{,}0} \times 100 = 0{,}25 \times 100 = 25\,\%$$

Hier ist $\Delta\%$ wieder die Veränderung in Prozent, $2{,}5$ der Dezemberwert und $2{,}0$ der Novemberwert. Die Conversion Rate ist also um 25 % gestiegen. Beide Aussagen sind richtig und beschreiben dieselbe Veränderung. Wer "um 25 % gestiegen" sagt, ohne den Ausgangswert dazu, lässt den Zuhörer raten, ob der Shop jetzt bei 2,5 % oder bei 50 % steht.

Wo es schiefgeht

Prozente sind nicht symmetrisch. Fällt der Umsatz eines Monats von 100 auf 50, sind das minus 50 %. Steigt er danach um 50 %, landet er bei 75, nicht bei 100, weil die 50 % jetzt von einer kleineren Basis gerechnet werden. Um von 50 zurück auf 100 zu kommen, braucht es plus 100 %. Ich sehe diese Falle in fast jeder Präsentation, in der ein Einbruch und eine Erholung nebeneinanderstehen, und sie lässt eine Erholung regelmäßig größer aussehen, als sie ist.

Quoten und Raten, von der Conversion bis zur Klickrate

Eine Rate setzt zwei Zahlen ins Verhältnis: wie oft etwas passiert ist, geteilt durch die Zahl der Gelegenheiten, bei denen es hätte passieren können. Die Conversion Rate ist Bestellungen geteilt durch Besucher. Die Klickrate (auf Englisch Click Through Rate, abgekürzt CTR) ist Klicks geteilt durch die Zahl der Anzeigen, die jemand gesehen hat, die sogenannten Impressionen. "Bestellungen je 1.000 Besucher" ist dieselbe Idee, nur mit 1.000 statt mit 100 als Bezugsgröße. Die Frage dahinter: wie gut verwandelt etwas Gelegenheiten in Ergebnisse, unabhängig davon, wie viele Gelegenheiten es gab?

$$\text{Rate} = \frac{\text{Ereignisse}}{\text{Gelegenheiten}}$$

Dabei ist $\text{Ereignisse}$ die Zahl der Dinge, die passiert sind (Bestellungen, Klicks, Anmeldungen), und $\text{Gelegenheiten}$ die Zahl der Fälle, in denen sie hätten passieren können (Besucher, Impressionen, Besucher der Anmeldeseite). Der Nenner ist der Teil, über den gestritten wird: wer als "Besucher" zählt, entscheidet über die Höhe jeder Conversion Rate. Ein Prozentwert entsteht, wenn du den Bruch mit 100 multiplizierst, wie bei Prozent beschrieben.

Rechenbeispiel: wie die Conversion Rate und die Klickrate von Korbwerk im Dezember aussahen

Korbwerk hatte im Dezember 40.000 Besucher und 1.000 Bestellungen. Die Conversion Rate:

$$\text{Rate} = \frac{1.000}{40.000} = 0{,}025 = 2{,}5\,\%$$

Hier ist $1.000$ die Zahl der Bestellungen (die Ereignisse) und $40.000$ die Zahl der Besucher (die Gelegenheiten). Von 1.000 Besuchern bestellen also 25. Anders gesagt: 25 Bestellungen je 1.000 Besucher.

Lenas Anzeigen in der Suchmaschine wurden im selben Monat 1.000.000 Mal angezeigt und 12.000 Mal geklickt. Die Klickrate:

$$\text{CTR} = \frac{12.000}{1.000.000} = 0{,}012 = 1{,}2\,\%$$

Hier ist $12.000$ die Zahl der Klicks und $1.000.000$ die Zahl der Impressionen. Von 1.000 Menschen, die die Anzeige gesehen haben, haben zwölf geklickt. Beide Raten zusammen ergeben eine Kette: eine Million Impressionen, 12.000 Klicks, und wenn jeder Klick ein Besuch wäre und die Conversion Rate von 2,5 % auch für diese Besucher gilt, dann 300 Bestellungen aus den Anzeigen.

Wo es schiefgeht

Raten mit völlig verschiedenen Nennern nebeneinanderzulegen. Zehn Bestellungen aus 100 Besuchern sind 10 %, und das klingt, als hätte Lenas neue Landingpage die Hauptseite mit ihren 2,5 % aus 40.000 Besuchern um Längen geschlagen. Hat sie nicht. Bei 100 Besuchern entscheiden zwei oder drei Zufallsbestellungen über mehrere Prozentpunkte, bei 40.000 bewegt sich die Rate kaum. Wie viel eine Rate zittert, hängt vom Nenner ab, und genau das ist das Thema von Stichproben und Standardfehler weiter unten.

Der Mittelwert

Der Mittelwert ist die Zahl, die die meisten Menschen meinen, wenn sie "Durchschnitt" sagen: alle Werte zusammenzählen, durch ihre Anzahl teilen. Statistiker nennen ihn genauer das arithmetische Mittel, weil es noch andere Mittel gibt, die aber hier keine Rolle spielen.³ Die Frage, die er beantwortet: wenn jede Bestellung gleich groß wäre und die Summe trotzdem dieselbe bliebe, wie groß wäre dann jede einzelne?

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

Dabei ist $\bar{x}$ der Mittelwert (gesprochen "x quer", der Strich über einem Buchstaben heißt in der Statistik fast immer "Mittelwert von"), $n$ die Anzahl der Werte, $\sum$ das große griechische Sigma und bedeutet "summiere alles, was rechts davon steht", $i$ ein Zähler, der von $1$ bis $n$ läuft, und $x_i$ der $i$te Wert, also die erste Bestellung, die zweite, bis zur $n$ten. Die Formel sagt in Zeichen nichts anderes als: zähle alle $x_i$ zusammen und teile durch $n$.

Rechenbeispiel: was eine Bestellung bei Korbwerk im Schnitt bringt

Korbwerk hatte im Dezember $n = 1.000$ Bestellungen. Zusammengezählt haben sie 102.000 € Umsatz gebracht, das ist die Summe $\sum x_i$. Der Mittelwert:

$$\bar{x} = \frac{1}{1.000} \times 102.000 = \frac{102.000}{1.000} = 102$$

Hier ist $\bar{x}$ der mittlere Bestellwert, $1.000$ die Zahl der Bestellungen und $102.000$ die Summe aller Bestellwerte in Euro. Die durchschnittliche Bestellung bei Korbwerk war im Dezember also 102 € wert.

Wo es schiefgeht

Der Mittelwert folgt den großen Werten. Unter Lenas 1.000 Bestellungen waren zwanzig Firmenkunden aus Köln und Leipzig, die Weihnachtskörbe für ihre ganze Belegschaft bestellt haben, jede dieser Bestellungen über 500 €. Zwanzig Bestellungen, zwei Prozent aller Kunden, und sie ziehen den Mittelwert um gut 10 € nach oben. Die typische Kundin, die einen Korb für ihre Mutter kauft, gibt deutlich weniger als 102 € aus. Wer den Mittelwert als "das, was ein Kunde ausgibt" liest, plant mit einer Kundin, die es so kaum gibt. Dafür gibt es den Median.

Median und Modus, die anderen beiden Mitten

Der Median ist der Wert in der Mitte, wenn du alle Werte der Größe nach sortierst: die Hälfte liegt darunter, die Hälfte darüber. Bei einer geraden Anzahl von Werten nimmst du den Mittelwert der beiden mittleren. Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Beide beantworten eine andere Frage als der Mittelwert. Der Median fragt: was gibt die mittlere Kundin aus? Der Modus fragt: welcher Bestellwert kommt am öftesten vor? Keine Formel im engeren Sinn, eher eine Anleitung, deshalb schreibe ich die Position des Medians als Regel:

$$\text{Median} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$$

Dabei ist $x_{(k)}$ der $k$te Wert der sortierten Liste (die Klammer um den Index heißt "nach Sortierung"), $n$ die Anzahl der Werte, und $\frac{n+1}{2}$ die Position in der Mitte. Bei $n = 1.000$ ist das Position 500,5, also der Mittelwert aus dem 500sten und dem 501sten Wert. Der Modus braucht keine Formel: zähle, wie oft jeder Wert vorkommt, und nimm den häufigsten.

Rechenbeispiel: die mittlere Kundin von Korbwerk und der Korb, der am häufigsten geht

Lena sortiert ihre 1.000 Dezemberbestellungen vom kleinsten zum größten Betrag. Die 500ste Bestellung liegt bei 68 €, die 501ste auch. Der Median ist also 68 €: die Hälfte aller Kunden hat weniger als 68 € ausgegeben, die andere Hälfte mehr.

Dann zählt sie, welcher Betrag am häufigsten vorkommt. Es ist 49 €, der Preis des Klassik Korbs, ihres Bestsellers, der allein 310 Mal bestellt wurde. Der Modus ist also 49 €.

Jetzt liegen drei Zahlen nebeneinander: Mittelwert 102 €, Median 68 €, Modus 49 €. Dass sie in genau dieser Reihenfolge stehen, Mittelwert über Median über Modus, ist kein Zufall. Es ist das Muster einer rechtsschiefen Verteilung, bei der die meisten Werte links unten liegen und ein langer Schwanz weniger, großer Werte nach rechts ausläuft.⁴ Die zwanzig Firmenbestellungen bilden diesen Schwanz. Fast jeder Shop, den ich bisher gesehen habe, sieht so aus. Was das für die Form der Daten heißt, steht unter Verteilungen.

Wo es schiefgeht

"Der durchschnittliche Warenkorb liegt bei 102 €" sagen, ohne zu sagen, welcher Durchschnitt gemeint ist. Für die Planung des Versands ist die mittlere Kundin bei 68 € die richtige Zahl. Für die Umsatzprognose ist der Mittelwert die richtige, weil er die Summe trägt. Für den Einkauf ist der Modus die richtige, weil der Klassik Korb den Lagerplatz braucht. Drei Fragen, drei Mitten. Wer eine davon als "den Durchschnitt" verkauft, beantwortet die beiden anderen Fragen falsch.

Die Streuung

Eine Mitte sagt dir, wo die Werte liegen. Die Streuung sagt dir, wie weit sie auseinanderliegen, und das ist mindestens so wichtig. Zwei Shops mit demselben Mittelwert von 102 € können völlig verschiedene Geschäfte sein: in dem einen kostet alles zwischen 90 € und 115 €, im anderen liegen die Bestellungen zwischen 12 € und 1.480 €. Vier Maße beantworten die Frage "wie weit streuen die Werte?": die Spannweite (größter minus kleinster Wert), die Varianz, die Standardabweichung und der Variationskoeffizient.⁵

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Dabei ist $s^2$ die Varianz der Stichprobe, $n$ die Anzahl der Werte, $x_i$ der $i$te Wert, $\bar{x}$ der Mittelwert, und $(x_i - \bar{x})^2$ der quadrierte Abstand jedes Werts von diesem Mittelwert. Quadriert wird, damit Abstände nach unten und nach oben sich nicht gegenseitig aufheben (ein Wert 10 unter dem Mittel und einer 10 darüber ergeben sonst zusammen null Abweichung, obwohl beide weit weg sind). Geteilt wird durch $n - 1$ und nicht durch $n$, und das verdient einen eigenen Satz: der Mittelwert $\bar{x}$ ist aus denselben Daten geschätzt und liegt deshalb immer ein bisschen zu nah an ihnen, näher als der wahre Mittelwert aller Kunden, den du nicht kennst. Die Abstände fallen dadurch systematisch etwas zu klein aus. Durch $n - 1$ zu teilen statt durch $n$ macht das Ergebnis ein wenig größer und gleicht das genau aus.⁶ Bei 1.000 Werten ist der Unterschied winzig, bei zehn Werten nicht.

$$s = \sqrt{s^2}$$

Dabei ist $s$ die Standardabweichung und $s^2$ die Varianz von eben. Die Wurzel holt die Einheit zurück: die Varianz steht in Euro zum Quadrat, womit niemand etwas anfangen kann, die Standardabweichung wieder in Euro. Sie ist, grob gesprochen, der typische Abstand einer Bestellung vom Mittelwert.

$$CV = \frac{s}{\bar{x}}$$

Dabei ist $CV$ der Variationskoeffizient (auf Englisch coefficient of variation), $s$ die Standardabweichung und $\bar{x}$ der Mittelwert. Er misst die Streuung relativ zur Mitte und hat keine Einheit, deshalb kannst du mit ihm die Streuung von Bestellwerten in Euro mit der Streuung von Lieferzeiten in Tagen vergleichen.

Rechenbeispiel: wie breit die Bestellungen von Korbwerk streuen

Die kleinste Dezemberbestellung bei Korbwerk war 12 €, die größte 1.480 €. Die Spannweite ist $1.480 - 12 = 1.468$ €. Das sagt, wie weit die Extreme auseinanderliegen, aber nichts darüber, wo die Masse liegt.

Dann die Varianz, Schritt für Schritt. Lena zieht von jeder der 1.000 Bestellungen den Mittelwert 102 € ab und quadriert den Abstand. Eine Bestellung über 49 € liefert $(49 - 102)^2 = (-53)^2 = 2.809$, eine über 68 € liefert $(68 - 102)^2 = 1.156$, eine Firmenbestellung über 650 € liefert $(650 - 102)^2 = 300.304$. Alle 1.000 Quadrate zusammen ergeben $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 24.939.036$. Geteilt durch $n - 1 = 999$:

$$s^2 = \frac{24.939.036}{999} = 24.964$$

Hier ist $24.939.036$ die Summe der quadrierten Abstände, $999$ die Zahl der Bestellungen minus eins, und $s^2 = 24.964$ die Varianz in Euro zum Quadrat. Die Wurzel daraus:

$$s = \sqrt{24.964} = 158$$

Hier ist $24.964$ die Varianz und $s = 158$ die Standardabweichung in Euro. Die typische Bestellung liegt also 158 € vom Mittelwert entfernt, und das bei einem Mittelwert von 102 €.

Der Variationskoeffizient:

$$CV = \frac{158}{102} = 1{,}55$$

Hier ist $158$ die Standardabweichung in Euro und $102$ der Mittelwert in Euro. Ein $CV$ von 1,55 heißt: die Streuung ist anderthalbmal so groß wie der Mittelwert selbst. Meine Faustregel: liegt der $CV$ über 1, ist der Mittelwert allein keine sichere Zusammenfassung mehr, und du gibst den Median immer dazu. Bei Korbwerk sind das die 68 €, und der Abstand zwischen 102 € und 68 € erzählt genau die Geschichte der Firmenkunden.

Wo es schiefgeht

Ein Mittelwert ohne Streuung daneben. "Der durchschnittliche Bestellwert liegt bei 102 €" ist ohne die 158 € Standardabweichung eine halbe Information, und zwar die irreführende Hälfte. Wer eine Zahl berichtet, berichtet zwei: die Mitte und wie weit die Werte um sie herum streuen. Alles, was später über Konfidenzintervalle und Hypothesentests kommt, ist im Kern nur die Frage, ob ein Unterschied groß ist im Vergleich zur Streuung.

Verteilungen und die Normalkurve

Eine Verteilung ist die Antwort auf die Frage: wie viele Werte liegen wo? Sortiere alle Bestellungen in Klassen (unter 40 €, 40 € bis 60 € und so weiter) und zähle, wie viele in jede Klasse fallen. Das Bild, das dabei entsteht, ist die Verteilung der Bestellwerte, und seine Form sagt mehr über ein Geschäft als jede einzelne Kennzahl. Die berühmteste Form ist die Glockenkurve, die Normalverteilung: symmetrisch, in der Mitte am dichtesten, nach beiden Seiten gleichmäßig auslaufend. Ihre Dichte ist durch eine Formel beschrieben, die ich hier zeige, damit sie dir nie wieder Angst macht.⁷

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Dabei ist $f(x)$ die Dichte an der Stelle $x$, also wie viele Werte in der Nähe von $x$ liegen (hoch in der Mitte, niedrig an den Rändern), $\mu$ der Mittelwert der ganzen Grundgesamtheit (das griechische My, der Bruder von $\bar{x}$, nur für alle Werte statt für eine Stichprobe), $\sigma$ die Standardabweichung der Grundgesamtheit (das griechische Sigma, der Bruder von $s$), $\pi$ die Kreiszahl 3,14159, und $e$ die Eulersche Zahl 2,71828, die Basis des natürlichen Logarithmus, den ich unter Logarithmen erkläre. Der Exponent $-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ ist der Kern: je weiter $x$ vom Mittelwert $\mu$ entfernt ist, gemessen in Standardabweichungen, desto stärker negativ wird er und desto kleiner die Dichte. Der Vorfaktor $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ sorgt nur dafür, dass die Fläche unter der Kurve genau 1 ergibt, also 100 % aller Werte.

Die Normalverteilung hat eine Eigenschaft, die du dir merken solltest, die Regel von 68, 95 und 99,7: rund 68 % aller Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, rund 95 % innerhalb von zwei, rund 99,7 % innerhalb von drei.⁸ Diese 95 % sind der Grund, warum später überall die Zahl 1,96 auftaucht.

Zwei weitere Verteilungen tauchen in den Artikeln auf, und je ein Satz reicht. Die Binomialverteilung beschreibt, wie viele Ja aus $n$ Versuchen mit je Ja oder Nein herauskommen, etwa wie viele von 40.000 Besuchern bestellen.⁹ Die Poisson Verteilung beschreibt, wie viele Ereignisse in einem Zeitraum passieren, wenn sie unabhängig voneinander eintreffen, etwa wie viele Bestellungen in einer Stunde eingehen.¹⁰

Auf der waagerechten Achse stehen die acht Wertklassen, von Bestellungen unter 40 € bis zu Bestellungen über 500 €. Die senkrechte Achse zählt, wie viele der 1.000 Bestellungen in jede Klasse fallen. Die höchste Säule, 290 Bestellungen, liegt bei 40 € bis 60 €, dort wo der Klassik Korb für 49 € sitzt. Dann fällt die Kurve nach rechts ab, aber nicht auf null: 55 Bestellungen zwischen 150 € und 250 €, 25 zwischen 250 € und 500 €, 20 über 500 €. Das ist der lange Schwanz, und das ist keine Glocke. Eine Glocke wäre symmetrisch um die 102 €, mit genauso vielen Bestellungen um 0 € herum wie um 200 €, und Bestellungen um 0 € gibt es nicht. Deshalb liegt der Mittelwert rechts vom Median und der Median rechts vom Modus, wie unter Median und Modus beschrieben.

Rechenbeispiel: warum der Mittelwert vieler Bestellungen trotzdem normalverteilt ist

Einzelne Bestellungen bei Korbwerk sind nicht normalverteilt, das zeigt das Diagramm. Trotzdem darf Lena bei vielem, was später kommt, mit der Glockenkurve rechnen, und zwar wegen des zentralen Grenzwertsatzes. Er sagt: nimm aus irgendeiner Verteilung, ganz gleich wie schief, immer wieder Stichproben von jeweils $n$ Werten und bilde jedes Mal den Mittelwert. Diese Mittelwerte sind dann annähernd normalverteilt, und zwar umso genauer, je größer $n$ ist.¹¹ Stell dir vor, Lena zieht aus ihren Dezemberbestellungen 500 Mal zufällig 100 heraus und rechnet jedes Mal den Mittelwert aus. Mal kommt 96 € heraus, mal 108 €, selten 85 €, selten 120 €. Zeichnest du diese 500 Mittelwerte als Verteilung, bekommst du eine saubere Glocke um 102 €, obwohl die Bestellungen selbst einen langen Schwanz haben. Diese Glocke der Mittelwerte ist das, womit Standardfehler, Konfidenzintervalle und Hypothesentests arbeiten. Nicht die Bestellungen müssen normal sein, nur ihre Mittelwerte, und das sind sie ab ein paar Dutzend Werten fast immer.

Wo es schiefgeht

Anzunehmen, die Bestellwerte selbst seien normalverteilt, und davon die Grenze für kostenlosen Versand abzuleiten. Wer die Grenze "knapp über dem Mittelwert" bei 110 € ansetzt, weil er glaubt, die Hälfte der Kunden liege ohnehin in der Nähe, trifft bei Korbwerk fast niemanden: drei Viertel aller Bestellungen liegen unter 100 €, und die Masse sitzt zwischen 40 € und 80 €. Eine Grenze bei 75 € würde die vielen Kunden knapp unter dem Median zu einem zweiten Artikel bewegen. Die Form der Verteilung entscheidet, nicht ihr Mittelwert.

Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes

Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Anteil auf lange Sicht. Wenn ich sage, ein Besucher bestellt mit Wahrscheinlichkeit 2,5 %, meine ich: von sehr vielen Besuchern bestellen auf Dauer 25 von 1.000. Für den einzelnen Besucher weiß ich nichts, er bestellt oder nicht. Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 (passiert nie) und 1 (passiert sicher), und geschrieben wird sie als $P(A)$, "die Wahrscheinlichkeit von A". Es gibt drei Regeln, mit denen du fast alles ausrechnen kannst, was in einem Shop vorkommt, und eine vierte, die berühmt ist.¹²

Die erste: schließen sich zwei Ereignisse gegenseitig aus, addierst du für "entweder oder". Ein Besucher kommt entweder aus Hamburg oder aus Köln, nie aus beiden Städten gleichzeitig, also ist $P(\text{Hamburg oder Köln}) = P(\text{Hamburg}) + P(\text{Köln})$. Die zweite: sind zwei Ereignisse unabhängig voneinander, multiplizierst du für "sowohl als auch". Dass ein Besucher ein Smartphone benutzt, hat nichts damit zu tun, ob er an einem Dienstag kommt, also ist $P(\text{Smartphone und Dienstag}) = P(\text{Smartphone}) \times P(\text{Dienstag})$.¹³ Die dritte ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, und sie ist die wichtigste:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Dabei ist $P(A \mid B)$ die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist (der senkrechte Strich wird "gegeben" gelesen: "A gegeben B"), $P(A \cap B)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ und $B$ beide eintreten (das umgedrehte U ist das Zeichen für "und"), und $P(B)$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ allein. In Worten: unter allen Fällen, in denen $B$ passiert ist, welcher Anteil hatte auch $A$? Du schrumpfst die Welt auf die Fälle mit $B$ und zählst darin neu.

Die vierte Regel ist der Satz von Bayes. Er dreht eine bedingte Wahrscheinlichkeit um: aus "wie wahrscheinlich ist B, wenn A gilt" wird "wie wahrscheinlich ist A, wenn B gilt". Das klingt nach einer Spitzfindigkeit und ist in Wahrheit das Werkzeug, mit dem du aus Daten, die du hast, auf die Frage kommst, die du eigentlich stellst.

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\, P(A)}{P(B)}$$

Dabei ist $P(A \mid B)$ wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit von $A$ gegeben $B$, $P(B \mid A)$ die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit, die du oft leichter messen kannst, $P(A)$ die Wahrscheinlichkeit von $A$ ganz allgemein (die sogenannte Basisrate, zu der es unter Indexreihen und Basisrate noch mehr gibt), und $P(B)$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ ganz allgemein.

Rechenbeispiel: wie oft jemand bestellt, der bei Korbwerk die Suche benutzt

Lena weiß drei Dinge aus ihrer Statistik. Erstens: 2,5 % aller Besucher bestellen, also $P(\text{Bestellung}) = 0{,}025$. Zweitens: von denen, die bestellt haben, hatten 40 % vorher das Suchfeld benutzt, also $P(\text{Suche} \mid \text{Bestellung}) = 0{,}40$. Drittens: 10 % aller Besucher benutzen das Suchfeld, also $P(\text{Suche}) = 0{,}10$. Ihre Frage ist die umgekehrte: wie viele von denen, die suchen, bestellen am Ende? Gesucht ist $P(\text{Bestellung} \mid \text{Suche})$.

Hier ist $A$ die Bestellung und $B$ die Suche. In den Satz von Bayes eingesetzt:

$$P(\text{Bestellung} \mid \text{Suche}) = \frac{0{,}40 \times 0{,}025}{0{,}10} = \frac{0{,}010}{0{,}10} = 0{,}10 = 10\,\%$$

Hier ist $0{,}40$ der Anteil der Bestellungen mit Suche, $0{,}025$ die Bestellwahrscheinlichkeit aller Besucher, und $0{,}10$ der Anteil der Besucher, die suchen. Von den Besuchern, die das Suchfeld benutzen, bestellen also 10 %, viermal so viele wie im Durchschnitt. Zur Kontrolle in ganzen Zahlen, was ich bei Wahrscheinlichkeiten immer empfehle: von 40.000 Besuchern suchen 4.000. Insgesamt gibt es 1.000 Bestellungen, 40 % davon, also 400, hatten die Suche benutzt. 400 Bestellungen aus 4.000 Suchenden sind 10 %. Dieselbe Zahl, ohne Formel, und wer die Formel nicht mag, rechnet immer so.

Wo es schiefgeht

$P(B \mid A)$ als $P(A \mid B)$ zu lesen. "40 % der Besteller haben gesucht" ist nicht dasselbe wie "40 % der Suchenden bestellen", und der Unterschied ist bei Korbwerk der zwischen 40 % und 10 %. Der Fehler ist so verbreitet, dass er einen Namen hat, und er steckt in jeder Behauptung der Art "80 % unserer Kunden kamen über Social Media, also bringt Social Media 80 % Conversion". Nein. Es heißt nur, dass viele Besucher über Social Media kommen. Wie viele davon bestellen, steht auf einem anderen Blatt.

Der Erwartungswert

Der Erwartungswert ist der Mittelwert, den du auf lange Sicht bekämst, wenn du eine Entscheidung mit ungewissem Ausgang sehr oft wiederholen könntest. Du multiplizierst jeden möglichen Ausgang mit seiner Wahrscheinlichkeit und zählst alles zusammen.¹⁴ Die Frage, die er beantwortet: was ist diese Wette im Schnitt wert?

$$E[X] = \sum_i p_i\, x_i$$

Dabei ist $E[X]$ der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ (das $E$ steht für Erwartung), $\sum_i$ die Summe über alle möglichen Ausgänge, nummeriert mit $i$, $p_i$ die Wahrscheinlichkeit des $i$ten Ausgangs, und $x_i$ sein Wert in Euro. Die Wahrscheinlichkeiten aller Ausgänge zusammen müssen 1 ergeben, sonst hast du einen Ausgang vergessen.

Rechenbeispiel: ob sich die Dezemberkampagne von Korbwerk lohnt

Lena überlegt, 5.000 € in eine Anzeigenkampagne für Firmenkunden in Leipzig zu stecken. Aus den Vorjahren schätzt sie drei mögliche Ausgänge: mit 60 % Wahrscheinlichkeit bringt die Kampagne 9.000 € Umsatz, mit 30 % nur 4.000 €, und mit 10 % geht sie unter und bringt nichts. Erst der erwartete Umsatz, Ausgang für Ausgang:

$$E[X] = 0{,}60 \times 9.000 + 0{,}30 \times 4.000 + 0{,}10 \times 0 = 5.400 + 1.200 + 0 = 6.600$$

Hier ist $E[X]$ der erwartete Umsatz in Euro, $0{,}60$, $0{,}30$ und $0{,}10$ die drei Wahrscheinlichkeiten (zusammen 1,00, also vollständig), und $9.000$, $4.000$ und $0$ die drei möglichen Umsätze. Der erwartete Umsatz ist 6.600 €. Davon gehen die 5.000 € Kosten ab, die in jedem Fall anfallen: der erwartete Gewinn ist $6.600 - 5.000 = 1.600$ €. Im Schnitt lohnt sich die Kampagne. Würde Lena diese Kampagne zehn Dezember lang fahren, käme sie ungefähr sechsmal mit 4.000 € plus heraus, dreimal mit 1.000 € minus und einmal mit 5.000 € minus, zusammen rund 16.000 € plus.

Wo es schiefgeht

Der Erwartungswert sagt nichts über das eine Mal, in dem du dir die Null nicht leisten kannst. Wenn die 5.000 € Lenas gesamte Liquidität für den Januar sind, ist die Kampagne trotz positivem Erwartungswert ein Fehler, weil der Ausgang mit 10 % Wahrscheinlichkeit den Shop in die Zahlungsunfähigkeit treibt und es danach keine neun weiteren Dezember mehr gibt. Erwartungswert ist für Entscheidungen, die du oft triffst und deren schlechtester Ausgang dich nicht umbringt. Für alles andere schaust du zuerst auf den schlechtesten Ausgang, dann auf den Erwartungswert.

Stichproben und der Standardfehler

Die Grundgesamtheit ist alles, worüber du etwas wissen willst: alle Kunden, die Korbwerk je haben wird, alle Besucher, die im nächsten Jahr kommen. Eine Stichprobe ist der Teil davon, den du tatsächlich gesehen hast, etwa die 1.000 Bestellungen vom letzten Dezember. Jede Zahl, die du aus der Stichprobe ausrechnest, der Mittelwert, die Conversion Rate, ist eine Schätzung für die entsprechende Zahl der Grundgesamtheit, und sie wäre ein bisschen anders ausgefallen, wenn andere Leute auf die Seite gekommen wären. Dieses Zittern heißt Stichprobenfehler, und seine Größe heißt Standardfehler. Er beantwortet die Frage: wie weit liegt meine Zahl wahrscheinlich von der wahren Zahl entfernt?

$$SE_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Dabei ist $SE_{\bar{x}}$ der Standardfehler des Mittelwerts (auf Englisch standard error), $s$ die Standardabweichung der Stichprobe und $n$ die Zahl der Werte in der Stichprobe. Die Wurzel im Nenner ist die eigentliche Botschaft: um den Standardfehler zu halbieren, brauchst du viermal so viele Daten, um ihn auf ein Zehntel zu drücken, hundertmal so viele. Daten werden schnell teuer und helfen immer langsamer.

$$SE_{p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Dabei ist $SE_{p}$ der Standardfehler eines Anteils, etwa einer Conversion Rate, $p$ der Anteil selbst als Zahl zwischen 0 und 1, $1 - p$ der Gegenanteil, und $n$ die Zahl der Gelegenheiten, also der Besucher.¹⁵ Der Zähler $p(1-p)$ ist bei $p = 0{,}5$ am größten und bei sehr kleinen Anteilen klein, weshalb seltene Ereignisse in absoluten Prozentpunkten weniger zittern, in Prozent ihres eigenen Werts aber umso mehr.

Rechenbeispiel: wie sicher die 102 € und die 2,5 % von Korbwerk sind

Der mittlere Bestellwert bei Korbwerk war 102 € bei einer Standardabweichung von 158 € und $n = 1.000$ Bestellungen. Der Standardfehler des Mittelwerts:

$$SE_{\bar{x}} = \frac{158}{\sqrt{1.000}} = \frac{158}{31{,}62} = 5{,}0$$

Hier ist $158$ die Standardabweichung in Euro, $\sqrt{1.000} = 31{,}62$ die Wurzel aus der Zahl der Bestellungen, und $5{,}0$ der Standardfehler in Euro. Der wahre mittlere Bestellwert aller Kunden, die Korbwerk im Dezember hätte haben können, liegt also typischerweise rund 5 € von den gemessenen 102 € entfernt. Nicht 158 €, denn das ist die Streuung einzelner Bestellungen, sondern 5 €, die Streuung des Mittelwerts.

Die Conversion Rate war 2,5 % bei 40.000 Besuchern, also $p = 0{,}025$ und $n = 40.000$:

$$SE_{p} = \sqrt{\frac{0{,}025 \times 0{,}975}{40.000}} = \sqrt{\frac{0{,}024375}{40.000}} = \sqrt{0{,}00000060938} = 0{,}00078$$

Hier ist $0{,}025$ die Conversion Rate, $0{,}975$ ihr Gegenanteil, $40.000$ die Zahl der Besucher, und $0{,}00078$ der Standardfehler als Anteil, also $0{,}078$ Prozentpunkte. Die gemessenen 2,5 % liegen typischerweise rund 0,08 Prozentpunkte neben der wahren Rate. Das ist wenig, und es ist wenig, weil 40.000 eine große Zahl ist.

Wo es schiefgeht

Ein "Trend" aus 30 Bestellungen. Hätte Lena den Mittelwert aus den ersten 30 Bestellungen des Januars gerechnet, läge der Standardfehler bei $158 / \sqrt{30} = 28{,}8$ €. Ein Januar Mittelwert von 125 € wäre dann kein Beleg dafür, dass die Kunden nach Weihnachten großzügiger werden, sondern läge noch bequem innerhalb des Zitterns. Jedes Mal, wenn jemand aus einer Handvoll Werten eine Richtung abliest, frage ich zuerst nach $n$ und rechne dann den Standardfehler aus. Meistens ist der Trend danach weg.

Konfidenzintervalle

Ein Konfidenzintervall macht aus einer Schätzung und ihrem Standardfehler einen Bereich: "der wahre Wert liegt mit hoher Sicherheit zwischen hier und da". Das übliche Niveau ist 95 %, und das bedeutet, etwas sperrig: wenn du dieses Verfahren sehr oft anwenden würdest, enthielten 95 % der so gebauten Intervalle den wahren Wert. Die Frage, die es beantwortet: wie genau weiß ich das eigentlich?¹⁶

$$\bar{x} \pm z \times SE$$

Dabei ist $\bar{x}$ die Schätzung, hier der Mittelwert, $\pm$ das Zeichen für "plus oder minus", also einmal nach oben und einmal nach unten gerechnet, $z$ der Faktor, der zum gewünschten Sicherheitsniveau gehört, und $SE$ der Standardfehler der Schätzung. Für 95 % ist $z = 1{,}96$, und diese Zahl kommt direkt aus der Normalverteilung: 95 % der Fläche unter der Glocke liegen innerhalb von 1,96 Standardabweichungen um die Mitte, wie unter Verteilungen beschrieben. Für 90 % wäre $z = 1{,}645$, für 99 % wäre $z = 2{,}576$. Dasselbe funktioniert mit einem Anteil $p$ statt $\bar{x}$ und seinem Standardfehler $SE_p$.

Rechenbeispiel: in welchem Bereich der wahre Bestellwert von Korbwerk liegt

Der mittlere Bestellwert war 102 € mit einem Standardfehler von 5,0 €. Das 95 % Konfidenzintervall:

$$102 \pm 1{,}96 \times 5{,}0 = 102 \pm 9{,}8$$

Hier ist $102$ der gemessene Mittelwert in Euro, $1{,}96$ der Faktor für 95 %, $5{,}0$ der Standardfehler in Euro und $9{,}8$ die halbe Breite des Intervalls. Die untere Grenze ist $102 - 9{,}8 = 92{,}2$ €, die obere $102 + 9{,}8 = 111{,}8$ €. Lena kann also sagen: der wahre mittlere Bestellwert liegt mit 95 % Sicherheit zwischen 92,20 € und 111,80 €.

Für die Conversion Rate von 2,5 % mit einem Standardfehler von $0{,}078$ Prozentpunkten:

$$2{,}5 \pm 1{,}96 \times 0{,}078 = 2{,}5 \pm 0{,}15$$

Hier ist $2{,}5$ die gemessene Rate in Prozent, $0{,}078$ ihr Standardfehler in Prozentpunkten und $0{,}15$ die halbe Breite. Das Intervall reicht von 2,35 % bis 2,65 %. Wenn Lena also im Januar 2,6 % misst, ist das keine Nachricht. Das war schon im Dezember drin.

Wo es schiefgeht

Das Intervall für den Bereich der einzelnen Bestellungen zu halten. "Die Bestellungen liegen zwischen 92 € und 112 €" ist falsch, sie liegen zwischen 12 € und 1.480 €. Das Intervall beschreibt, wie genau der Mittelwert bekannt ist, nicht wie breit die Bestellungen streuen. Für die Streuung der Bestellungen ist die Standardabweichung zuständig, 158 €, und die ist dreißigmal so breit wie der Standardfehler.

Hypothesentests

Ein Hypothesentest beantwortet eine Frage, die in jedem Unternehmen ständig gestellt wird: ist dieser Unterschied echt, oder ist er Zufall? Du beginnst mit der Nullhypothese, der langweiligen Annahme, dass es keinen Unterschied gibt (die neue Kasse konvertiert genauso wie die alte).¹⁷ Dann rechnest du aus, wie wahrscheinlich ein Unterschied mindestens so groß wie der beobachtete wäre, wenn die Nullhypothese stimmt. Diese Wahrscheinlichkeit heißt p Wert. Ist sie kleiner als eine vorher festgelegte Grenze, das Signifikanzniveau, meist 5 %, verwirfst du die Nullhypothese und nennst den Unterschied signifikant. Dabei kannst du auf zwei Arten irren: du siehst einen Unterschied, wo keiner ist (Fehler erster Art, seine Wahrscheinlichkeit ist das Signifikanzniveau $\alpha$), oder du übersiehst einen, der da ist (Fehler zweiter Art, Wahrscheinlichkeit $\beta$). Die Power eines Tests ist $1 - \beta$, die Wahrscheinlichkeit, einen echten Unterschied auch zu finden.¹⁸ Für zwei Conversion Rates ist der passende Test der z Test für zwei Anteile:¹⁹

$$z = \frac{p_1 - p_2}{\sqrt{p(1-p)\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$$

Dabei ist $z$ die Prüfgröße, die sagt, wie viele Standardfehler die beiden Raten auseinanderliegen, $p_1$ und $p_2$ die beiden gemessenen Anteile, $n_1$ und $n_2$ die zugehörigen Besucherzahlen, und $p$ der gepoolte Anteil: alle Bestellungen beider Varianten zusammen geteilt durch alle Besucher beider Varianten zusammen. Gepoolt wird, weil die Nullhypothese ja sagt, beide Varianten hätten dieselbe Rate, und die beste Schätzung dieser gemeinsamen Rate sind alle Daten zusammen. Der Nenner ist der Standardfehler des Unterschieds. Ein $z$ über 1,96 oder unter minus 1,96 bedeutet bei einem zweiseitigen Test einen p Wert unter 5 %, aus demselben Grund, aus dem 1,96 bei den Konfidenzintervallen auftaucht.

Das Diagramm zeigt den Ablauf eines sauberen Tests von oben nach unten. Die Reihenfolge ist der Punkt: Nullhypothese, Niveau und Stichprobengröße werden festgelegt, bevor die ersten Daten kommen, die Entscheidung fällt genau einmal, am Ende, und "nicht signifikant" heißt nicht "die Varianten sind gleich", sondern "ich habe keinen Beleg für einen Unterschied". Wie die Stichprobengröße vorab berechnet wird, steht im nächsten Abschnitt zur Stichprobengröße.

Rechenbeispiel: ob die neue Kasse von Korbwerk wirklich besser konvertiert

Lena hat im Januar eine neue Kasse getestet. Die Hälfte der Besucher sah die alte: 20.000 Besucher, 500 Bestellungen, also $p_1 = 0{,}025$ oder 2,5 %. Die andere Hälfte sah die neue: 20.000 Besucher, 560 Bestellungen, also $p_2 = 0{,}028$ oder 2,8 %. Die neue Kasse liegt 0,3 Prozentpunkte vorn, das sind 12 % mehr Bestellungen. Ist das echt?

Schritt eins, der gepoolte Anteil: alle Bestellungen geteilt durch alle Besucher.

$$p = \frac{500 + 560}{20.000 + 20.000} = \frac{1.060}{40.000} = 0{,}0265$$

Hier ist $p$ der gepoolte Anteil, $500$ und $560$ die Bestellungen der beiden Varianten, $20.000$ und $20.000$ ihre Besucher. Gepoolt konvertieren 2,65 %.

Schritt zwei, der Standardfehler des Unterschieds, der Nenner der Formel:

$$\sqrt{0{,}0265 \times 0{,}9735 \times \left(\frac{1}{20.000} + \frac{1}{20.000}\right)} = \sqrt{0{,}025798 \times 0{,}0001} = \sqrt{0{,}0000025798} = 0{,}00160$$

Hier ist $0{,}0265$ der gepoolte Anteil, $0{,}9735$ sein Gegenanteil, $\frac{1}{20.000} + \frac{1}{20.000} = 0{,}0001$ die Summe der Kehrwerte beider Besucherzahlen, und $0{,}00160$ der Standardfehler des Unterschieds, also 0,16 Prozentpunkte.

Schritt drei, die Prüfgröße:

$$z = \frac{0{,}028 - 0{,}025}{0{,}00160} = \frac{0{,}003}{0{,}00160} = 1{,}87$$

Hier ist $0{,}028 - 0{,}025 = 0{,}003$ der beobachtete Unterschied von 0,3 Prozentpunkten, $0{,}00160$ sein Standardfehler, und $z = 1{,}87$ sagt: der Unterschied ist 1,87 Standardfehler groß. Das ist knapp unter 1,96. Der zugehörige zweiseitige p Wert (aus der Tabelle der Normalverteilung oder jeder Tabellenkalkulation) liegt bei rund 0,06, also 6 %. Wenn beide Kassen in Wahrheit gleich gut wären, käme ein Unterschied dieser Größe in etwa 6 von 100 solchen Tests trotzdem zustande. Das ist mehr als die 5 %, die Lena vorher als Grenze festgelegt hat. Der Unterschied ist nicht signifikant. Nicht "die neue Kasse ist nicht besser", sondern: 20.000 Besucher je Variante reichen nicht, um 0,3 Prozentpunkte sicher von Zufall zu unterscheiden.

Wo es schiefgeht

Jeden Tag nachschauen und am ersten grünen Tag aufhören. Ein Test, der 30 Tage läuft und jeden Morgen auf Signifikanz geprüft wird, bekommt 30 Chancen, zufällig unter 5 % zu rutschen, und die Wahrscheinlichkeit, dass das mindestens einmal passiert, liegt weit über 5 %. Wer beim ersten Treffer stoppt, sammelt Zufallstreffer. Die Stichprobengröße wird vorher festgelegt, der Test läuft, bis sie erreicht ist, und dann wird einmal entschieden. Alles andere ist eine Münze werfen mit Diagramm.

Die Stichprobengröße

Bevor ein Test beginnt, solltest du wissen, wie viele Daten er braucht, um einen Unterschied der Größe, auf die es dir ankommt, mit vernünftiger Sicherheit zu finden. Das ist die Frage nach der Stichprobengröße, und sie hängt von vier Dingen ab: vom Ausgangswert, vom kleinsten Unterschied, den du noch finden willst, vom Signifikanzniveau und von der Power.²⁰ Für den Vergleich zweier Anteile:

$$n = \frac{(z_{\alpha/2} + z_{\beta})^2 \left[p_1(1-p_1) + p_2(1-p_2)\right]}{(p_1 - p_2)^2}$$

Dabei ist $n$ die nötige Zahl der Besucher je Variante, $z_{\alpha/2}$ der Faktor zum Signifikanzniveau (bei 5 % zweiseitig ist das 1,96, wie bei den Konfidenzintervallen), $z_{\beta}$ der Faktor zur Power (bei 80 % Power ist das 0,84, der Punkt, an dem 80 % der Normalverteilung links liegen), $p_1$ der Anteil, den du heute hast, $p_2$ der Anteil, den du mindestens erreichen willst, $p_1(1-p_1)$ und $p_2(1-p_2)$ die Streuungsterme der beiden Anteile, und $(p_1 - p_2)^2$ das Quadrat des Unterschieds, den du finden willst. Dieses Quadrat im Nenner ist der Grund, warum kleine Verbesserungen so teuer zu beweisen sind: halbierst du den gesuchten Unterschied, vervierfacht sich $n$.

Rechenbeispiel: wie viele Besucher der Kassentest von Korbwerk gebraucht hätte

Lena will 2,5 % gegen 2,8 % testen, bei 5 % Signifikanz und 80 % Power. Also $p_1 = 0{,}025$, $p_2 = 0{,}028$, $z_{\alpha/2} = 1{,}96$, $z_\beta = 0{,}84$.

Schritt eins, der Vorfaktor: $(1{,}96 + 0{,}84)^2 = 2{,}80^2 = 7{,}84$.

Schritt zwei, die Streuungsterme: $0{,}025 \times 0{,}975 = 0{,}024375$ und $0{,}028 \times 0{,}972 = 0{,}027216$, zusammen $0{,}051591$.

Schritt drei, der Nenner: $(0{,}025 - 0{,}028)^2 = (-0{,}003)^2 = 0{,}000009$.

$$n = \frac{7{,}84 \times 0{,}051591}{0{,}000009} = \frac{0{,}40447}{0{,}000009} \approx 44.941$$

Hier ist $7{,}84$ der Vorfaktor aus den beiden $z$ Werten, $0{,}051591$ die Summe der Streuungsterme, $0{,}000009$ das Quadrat des Unterschieds und $44.941$ die nötige Besucherzahl je Variante. Rund 45.000 Besucher je Variante, also 90.000 insgesamt. Lenas Test hatte 20.000 je Variante, weniger als die Hälfte. Dass er nicht signifikant wurde, war kein Pech, es war vorhersehbar. Bei 40.000 Besuchern im Monat hätte der Test gut zwei Monate laufen müssen, und das wäre die ehrliche Antwort vor dem Start gewesen.

Wo es schiefgeht

Die Testdauer vom Kalender ableiten statt von $n$. "Wir lassen den Test zwei Wochen laufen" ist eine Aussage über Geduld, nicht über Beweiskraft. Zwei Wochen mit 20.000 Besuchern reichen für einen Unterschied von zwei Prozentpunkten, aber nicht für einen von 0,3. Erst $n$ ausrechnen, dann daraus die Dauer, und wenn die Dauer unrealistisch ist, einen größeren Unterschied testen oder den Test lassen. Ein Test, der den gesuchten Unterschied nicht finden kann, kostet Zeit und liefert nur Rauschen mit Hoffnung drin.

Korrelation

Die Korrelation misst, wie eng zwei Größen gemeinsam auf und ab gehen. Der Korrelationskoeffizient nach Pearson, geschrieben $r$, liegt immer zwischen minus 1 und 1: bei 1 liegen alle Punkte exakt auf einer steigenden Geraden, bei minus 1 auf einer fallenden, bei 0 gibt es keinen geradlinigen Zusammenhang. Sein Quadrat $r^2$ sagt, welcher Anteil der Schwankung der einen Größe mit der anderen zusammen schwankt.²¹ Die Frage dahinter: wenn das eine hoch ist, ist dann das andere auch hoch, und wie verlässlich?

$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

Dabei ist $r$ der Korrelationskoeffizient, $x_i$ und $y_i$ die beiden Werte eines Paares (etwa Mails und Umsatz eines Monats), $\bar{x}$ und $\bar{y}$ die beiden Mittelwerte, $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ das Produkt der beiden Abweichungen (positiv, wenn beide über oder beide unter ihrem Mittel liegen, negativ, wenn eins drüber und eins drunter liegt), und der Nenner mit den beiden Summen quadrierter Abweichungen ist die Streuung beider Größen, die das Ganze auf den Bereich von minus 1 bis 1 normiert.

Rechenbeispiel: ob bei Korbwerk mehr Newsletter auch mehr Umsatz bedeuten

Lena hat zwölf Monate lang notiert, wie viele Newsletter Mails sie im Monat verschickt hat und wie viel Umsatz der Shop in diesem Monat gemacht hat. Zwölf Paare aus Mails $x_i$ und Umsatz $y_i$.

Schritt eins, die Mittelwerte: im Schnitt waren es $\bar{x} = 9.000$ Mails im Monat und $\bar{y} = 42.500$ € Umsatz.

Schritt zwei, für jeden Monat die Abweichung von beiden Mittelwerten bilden. Ein Monat mit 12.000 Mails liegt 3.000 über dem Mittel, ein Monat mit 6.000 Mails liegt 3.000 darunter, und genauso für den Umsatz. Dann drei Summen: die zwölf Produkte aus Mail Abweichung mal Umsatz Abweichung ergeben $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 100.000.000$, die zwölf quadrierten Mail Abweichungen ergeben $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 40.000.000$, und die zwölf quadrierten Umsatz Abweichungen ergeben $\sum (y_i - \bar{y})^2 = 650.000.000$. Die Zahlen sind groß, weil Quadrate von Tausendern schnell groß werden, das ist normal und stört nicht.

Schritt drei, einsetzen:

$$r = \frac{100.000.000}{\sqrt{40.000.000 \times 650.000.000}} = \frac{100.000.000}{161.245.155} = 0{,}62$$

Hier ist $100.000.000$ die Summe der Abweichungsprodukte, $40.000.000$ und $650.000.000$ die beiden Summen quadrierter Abweichungen, $161.245.155$ die Wurzel ihres Produkts (gerundet) und $r = 0{,}62$ der Korrelationskoeffizient. Ein deutlich positiver Zusammenhang: in Monaten mit mehr Mails kam meist mehr Umsatz. Und $r^2 = 0{,}62^2 = 0{,}38$: 38 % der Schwankung des Umsatzes bewegen sich mit der Zahl der Mails. Die anderen 62 % tun das nicht. Sie hängen an der Saison, an den Produkten, am Wetter, an Dingen, die in Lenas zwölf Zahlenpaaren nicht stehen.

Wo es schiefgeht

Korrelation ist nicht Ursache. Dass Mails und Umsatz zusammen steigen, heißt nicht, dass die Mails den Umsatz machen. Beides steigt im November und Dezember, weil Weihnachten kommt. Lena verschickt vor Weihnachten mehr Mails, und die Leute kaufen vor Weihnachten mehr Körbe, mit oder ohne Mail. Ein Teil der 0,62 ist einfach der Kalender. Wer wissen will, was die Mails wirklich bewirken, braucht ein Experiment, in dem ein zufälliger Teil der Kunden keine Mail bekommt, also einen Hypothesentest, keine Korrelation.

Regression

Die Regression geht einen Schritt weiter als die Korrelation: sie legt eine Gerade durch die Punkte und gibt dir eine Gleichung, mit der du aus dem einen Wert den anderen vorhersagen kannst. Die einfache lineare Regression hat eine Eingangsgröße und einen Ausgang, und die Gerade wird so gelegt, dass die Summe der quadrierten Abstände aller Punkte zu ihr so klein wie möglich ist (deshalb heißt das Verfahren Methode der kleinsten Quadrate).²¹ Die Frage: wenn ich $x$ um so viel ändere, um wie viel ändert sich dann im Schnitt $y$?

$$y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon$$

Dabei ist $y$ die Größe, die du erklären oder vorhersagen willst, $x$ die Größe, mit der du sie erklärst, $\beta_0$ der Achsenabschnitt (der Wert von $y$, wenn $x$ gleich null ist, das griechische Beta mit Index null), $\beta_1$ die Steigung (um wie viel $y$ sich ändert, wenn $x$ um eins steigt), und $\varepsilon$ der Fehlerterm (das griechische Epsilon), also alles, was die Gerade nicht erklärt. Das Bestimmtheitsmaß $R^2$ ist bei der einfachen Regression dasselbe wie das $r^2$ der Korrelation und sagt, welcher Anteil der Schwankung von $y$ durch die Gerade erklärt wird.

Für Ergebnisse, die nur Ja oder Nein sein können (bestellt oder nicht, kündigt oder nicht), passt eine Gerade nicht, weil sie Werte unter 0 und über 1 liefern würde. Dafür gibt es die logistische Regression, die statt der Wahrscheinlichkeit selbst ihre sogenannten Log Odds modelliert:²²

$$\ln\frac{p}{1-p} = \beta_0 + \beta_1 x$$

Dabei ist $p$ die Wahrscheinlichkeit für Ja, $\frac{p}{1-p}$ die Chance (auf Englisch odds, etwa 1 zu 39 bei 2,5 %), $\ln$ der natürliche Logarithmus, und $\beta_0$ und $\beta_1$ wieder Achsenabschnitt und Steigung, jetzt auf dieser logarithmischen Skala. Mehr musst du über die logistische Regression hier nicht wissen, außer dass sie hinter fast jedem Modell steckt, das "Kaufwahrscheinlichkeit" oder "Abwanderungsrisiko" ausspuckt.

Rechenbeispiel: was eine zusätzliche Mail bei Korbwerk an Umsatz bringt

Aus denselben zwölf Monaten wie bei der Korrelation rechnet Lenas Tabellenkalkulation die Gerade aus. Die Steigung ist die Summe der Abweichungsprodukte geteilt durch die Summe der quadrierten $x$ Abweichungen, beide schon aus der Korrelation bekannt:

$$\beta_1 = \frac{100.000.000}{40.000.000} = 2{,}5$$

Hier ist $100.000.000$ die Summe der Abweichungsprodukte, $40.000.000$ die Summe der quadrierten Abweichungen der Mails, und $\beta_1 = 2{,}5$ die Steigung: jede zusätzliche Mail geht im Schnitt mit 2,50 € mehr Umsatz einher. Der Achsenabschnitt ergibt sich daraus, dass die Gerade durch den Punkt der beiden Mittelwerte läuft:

$$\beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} = 42.500 - 2{,}5 \times 9.000 = 42.500 - 22.500 = 20.000$$

Hier ist $\bar{y} = 42.500$ der mittlere Umsatz, $\bar{x} = 9.000$ die mittlere Zahl der Mails, $\beta_1 = 2{,}5$ die Steigung und $\beta_0 = 20.000$ der Achsenabschnitt. Die Gleichung lautet also: Umsatz = 20.000 + 2,5 mal Mails. Verschickt Lena in einem Monat 4.000 Mails mehr als sonst, sagt die Gerade $2{,}5 \times 4.000 = 10.000$ € mehr Umsatz voraus. Das gilt innerhalb des Bereichs, den die Daten abdecken, 6.000 bis 12.000 Mails im Monat, und mit einem $R^2$ von 0,38, also mit viel Luft nach beiden Seiten.

Wo es schiefgeht

Zwei Fehler, und sie gehören zusammen. Erstens, über die Daten hinaus verlängern: die Gerade sagt für 100.000 Mails einen Umsatz von 270.000 € voraus, aber Lena hat nie mehr als 12.000 verschickt, und ab irgendeiner Menge melden sich die Kunden ab, statt zu kaufen. Außerhalb der Daten ist die Gerade eine Vermutung. Zweitens, die Steigung als Ursache lesen: die 2,50 € je Mail sind ein Zusammenhang, kein Beweis, dass die Mail den Umsatz macht, aus genau den Gründen, die bei der Korrelation stehen.

Preiselastizität

Die Preiselastizität der Nachfrage sagt, wie stark die verkaufte Menge reagiert, wenn du den Preis änderst: Prozent Mengenänderung geteilt durch Prozent Preisänderung. Liegt der Betrag über 1, heißt die Nachfrage elastisch, die Menge reagiert stärker als der Preis, und eine Preiserhöhung senkt den Umsatz. Liegt er unter 1, heißt sie unelastisch, und eine Preiserhöhung steigert den Umsatz trotz weniger verkaufter Stücke.²³ Die Frage: was passiert mit meinem Umsatz, wenn ich am Preis drehe?

$$\varepsilon = \frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P}$$

Dabei ist $\varepsilon$ die Elastizität (das griechische Epsilon, hier ohne Bezug zum Fehlerterm der Regression, die Buchstaben gehen in der Statistik irgendwann aus), $\%\Delta Q$ die Änderung der Menge in Prozent und $\%\Delta P$ die Änderung des Preises in Prozent. Weil die Menge fast immer fällt, wenn der Preis steigt, ist $\varepsilon$ normalerweise negativ, und oft wird nur sein Betrag genannt. Die Prozentänderungen hängen davon ab, von welchem Wert aus du rechnest, deshalb gibt es die Mittelpunktsvariante, die als Basis den Mittelwert aus altem und neuem Wert nimmt:

$$\varepsilon_{\text{mid}} = \frac{\dfrac{Q_2 - Q_1}{(Q_1 + Q_2)/2}}{\dfrac{P_2 - P_1}{(P_1 + P_2)/2}}$$

Dabei ist $Q_1$ die Menge vor und $Q_2$ die Menge nach der Preisänderung, $P_1$ der alte und $P_2$ der neue Preis, und die Nenner $(Q_1 + Q_2)/2$ und $(P_1 + P_2)/2$ sind die jeweiligen Mittelwerte. Der Vorteil: die Elastizität fällt gleich aus, egal ob du den Preis erhöhst oder wieder senkst.

Rechenbeispiel: was die Preiserhöhung des Klassik Korbs mit dem Umsatz von Korbwerk macht

Lena hebt den Preis des Klassik Korbs von 49 € auf 54 € an. Vorher verkaufte sie 400 Stück im Monat, nachher 352. Die Preisänderung in Prozent: $(54 - 49) / 49 = 5 / 49 = 0{,}102$, also plus 10,2 %. Die Mengenänderung: $(352 - 400) / 400 = -48 / 400 = -0{,}12$, also minus 12 %.

$$\varepsilon = \frac{-12\,\%}{10{,}2\,\%} = -1{,}18$$

Hier ist $-12\,\%$ die Mengenänderung, $10{,}2\,\%$ die Preisänderung und $\varepsilon = -1{,}18$ die Elastizität. Der Betrag liegt über 1, die Nachfrage nach dem Klassik Korb ist elastisch. Und das zeigt sich im Umsatz: vorher $400 \times 49 = 19.600$ €, nachher $352 \times 54 = 19.008$ €. Die Preiserhöhung hat Lena 592 € Umsatz im Monat gekostet. Ob sie trotzdem richtig war, hängt an der Marge: 352 Körbe kosten im Einkauf und Versand weniger als 400, und wenn der Rohertrag je Korb von, sagen wir, 20 € auf 25 € steigt, wächst der Rohertrag von 8.000 € auf 8.800 €. Umsatz runter, Gewinn rauf, so etwas passiert bei elastischer Nachfrage öfter, als man denkt.

Zur Kontrolle die Mittelpunktsvariante: Mengenänderung $-48 / 376 = -0{,}128$, Preisänderung $5 / 51{,}50 = 0{,}097$, Elastizität $-0{,}128 / 0{,}097 = -1{,}31$. Etwas größer im Betrag, dieselbe Aussage: elastisch.

Wo es schiefgeht

Eine Elastizität für jeden Preis und jede Jahreszeit anzunehmen. Die minus 1,18 gelten für den Schritt von 49 € auf 54 € im Frühjahr. Von 54 € auf 59 € kann die Reaktion ganz anders ausfallen, und im Dezember, wenn die Leute ein Geschenk brauchen und die Zeit knapp ist, ist die Nachfrage fast immer unelastischer als im Mai. Elastizität ist eine lokale Messung, sie gilt dort, wo du sie gemessen hast, und nirgends sonst ohne neuen Test.

Wachstum, das sich aufzinst

Wachstum baut auf Wachstum auf. Wächst etwas jeden Monat um 5 %, dann wachsen im zweiten Monat nicht nur die ursprünglichen 100, sondern die 105 vom ersten Monat, und so weiter. Das ist der Zinseszins, und er ist der Grund, warum Wachstumsraten über mehrere Perioden nie einfach addiert werden dürfen. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate, auf Englisch Compound Annual Growth Rate (CAGR), ist die eine konstante Rate, die den Startwert in der gegebenen Zeit genau zum Endwert gebracht hätte.²⁴ Die Frage: wie schnell wächst das wirklich, auf ein Jahr gerechnet?

$$\text{CAGR} = \left(\frac{V_{\text{Ende}}}{V_{\text{Start}}}\right)^{1/t} - 1$$

Dabei ist $\text{CAGR}$ die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate als Dezimalzahl, $V_{\text{Ende}}$ der Wert am Ende, $V_{\text{Start}}$ der Wert am Anfang, $t$ die Zahl der Jahre dazwischen, und der Exponent $1/t$ zieht die $t$te Wurzel, also die Umkehrung des $t$maligen Aufzinsens. Die Minus 1 am Ende macht aus dem Wachstumsfaktor (etwa 1,18) die Rate (0,18).

Eine Faustregel gehört dazu, die Regel von 70 (oft auch als Regel von 72 formuliert): die Zahl der Jahre, bis sich etwas verdoppelt, ist ungefähr 70 geteilt durch die Wachstumsrate in Prozent.²⁵ Sie kommt daher, dass der natürliche Logarithmus von 2 rund 0,69 ist.

Rechenbeispiel: wie schnell Korbwerk in drei Jahren gewachsen ist

Der Jahresumsatz von Korbwerk ist in drei Jahren von 400.000 € auf 650.000 € gewachsen. Also $V_{\text{Start}} = 400.000$, $V_{\text{Ende}} = 650.000$, $t = 3$.

Schritt eins, der Wachstumsfaktor über die ganze Zeit: $650.000 / 400.000 = 1{,}625$. Der Umsatz hat sich um 62,5 % erhöht.

Schritt zwei, die dritte Wurzel daraus, weil es drei Jahre waren:

$$\text{CAGR} = 1{,}625^{1/3} - 1 = 1{,}176 - 1 = 0{,}176 = 17{,}6\,\%$$

Hier ist $1{,}625$ der Gesamtfaktor, $1/3$ der Exponent für drei Jahre, $1{,}176$ der jährliche Wachstumsfaktor und $17{,}6\,\%$ die jährliche Rate. Zur Kontrolle: $400.000 \times 1{,}176 \times 1{,}176 \times 1{,}176 = 650.400$ €, bis auf die Rundung der Endwert. Wer die 62,5 % einfach durch drei teilt, bekommt 20,8 % und liegt drei Prozentpunkte zu hoch, weil er den Zinseszins ignoriert. Und nach der Regel von 70 verdoppelt sich der Umsatz bei 17,6 % in etwa $70 / 17{,}6 = 4$ Jahren.

Dasselbe in die andere Richtung: wächst der Shop jeden Monat um 5 %, sind das nicht 60 % im Jahr, sondern

$$1{,}05^{12} - 1 = 1{,}796 - 1 = 0{,}796 = 79{,}6\,\%$$

Hier ist $1{,}05$ der monatliche Wachstumsfaktor, $12$ die Zahl der Monate, $1{,}796$ der Jahresfaktor und $79{,}6\,\%$ das Jahreswachstum. Fast 20 Prozentpunkte mehr, als die Addition ergibt, und das nur, weil jeder Monat auf dem vorigen aufbaut.

Wo es schiefgeht

Prozente über Perioden addieren. Zwölf Monate mit je 5 % sind nicht 60 %, drei Jahre mit je 17,6 % sind nicht 52,8 %, und ein Minus von 30 % gefolgt von einem Plus von 30 % ist ein Minus von 9 %. Jede Wachstumsangabe über mehr als eine Periode wird multipliziert, nie addiert. Wer das einmal verinnerlicht hat, liest Wachstumsfolien völlig anders.

Abzinsung und der Barwert

Ein Euro heute ist mehr wert als ein Euro in drei Jahren. Nicht wegen der Inflation allein, sondern weil du den Euro heute anlegen, investieren oder einfach sicher haben kannst, während der Euro in drei Jahren erst noch kommen muss. Das Abzinsen (auch Diskontieren) rechnet einen künftigen Betrag auf seinen Wert von heute um, den Barwert.²⁶ Die Frage: was ist mir ein Betrag, der erst später kommt, heute wert?

$$PV = \frac{FV}{(1+d)^t}$$

Dabei ist $PV$ der Barwert (auf Englisch present value), $FV$ der künftige Betrag (future value), $d$ der Abzinsungssatz je Periode als Dezimalzahl, und $t$ die Zahl der Perioden bis zur Zahlung. Der Nenner $(1+d)^t$ ist der Zinseszins aus dem Abschnitt über Wachstum, nur rückwärts: statt einen Betrag $t$ Jahre aufzuzinsen, teilst du ihn durch denselben Faktor. Der Abzinsungssatz ist eine Entscheidung, keine Messung: er drückt aus, welche Rendite du anderswo sicher bekämst, plus einen Aufschlag für das Risiko, dass die Zahlung ausbleibt. Für Firmen gibt es dafür Vorgaben, etwa die Sätze, die die Deutsche Bundesbank monatlich für die Abzinsung von Rückstellungen nach Handelsgesetzbuch veröffentlicht.²⁷ Für die Bewertung eines Projekts im eigenen Shop sind 8 % bis 12 % ein üblicher Bereich, und ich nehme im Zweifel den höheren.

Der Kapitalwert (auf Englisch net present value, NPV) ist die Summe aller abgezinsten Einzahlungen und Auszahlungen eines Vorhabens.²⁸ Ist er positiv, bringt das Vorhaben mehr, als der Abzinsungssatz verlangt.

Rechenbeispiel: was 10.000 € in drei Jahren für Korbwerk heute wert sind

Ein Großkunde aus Köln bietet Lena an, in drei Jahren eine Abschlusszahlung von 10.000 € zu leisten. Lena rechnet mit einem Abzinsungssatz von 10 %. Also $FV = 10.000$, $d = 0{,}10$, $t = 3$.

Schritt eins, der Nenner: $(1 + 0{,}10)^3 = 1{,}10 \times 1{,}10 \times 1{,}10 = 1{,}331$.

$$PV = \frac{10.000}{1{,}331} = 7.513$$

Hier ist $10.000$ der künftige Betrag in Euro, $1{,}331$ der Aufzinsungsfaktor über drei Jahre bei 10 % und $7.513$ der Barwert in Euro. Die 10.000 € in drei Jahren sind Lena heute 7.513 € wert. Umgekehrt gelesen: 7.513 €, heute zu 10 % angelegt, wären in drei Jahren genau 10.000 €. Muss Lena für dieses Geschäft heute 5.000 € vorstrecken, ist der Kapitalwert $7.513 - 5.000 = 2.513$ €, positiv, das Geschäft lohnt sich bei 10 %. Müsste sie 8.000 € vorstrecken, wäre er $7.513 - 8.000 = -487$ €, und sie sollte ablehnen, obwohl 10.000 € nominell mehr sind als 8.000 €.

Wo es schiefgeht

Eine Ausgabe von heute mit einer Einnahme in drei Jahren zum Nennwert zu vergleichen. "Wir investieren 8.000 € und bekommen 10.000 € zurück, also 2.000 € Gewinn" ist bei drei Jahren Wartezeit und 10 % Abzinsung ein Verlust von 487 €. Je weiter eine Zahlung in der Zukunft liegt und je unsicherer sie ist, desto weniger zählt sie heute, und jede Rechnung, die Beträge aus verschiedenen Jahren einfach addiert, ohne abzuzinsen, überschätzt die Zukunft.

Was ein Kunde über die Jahre wert ist

Der Kundenwert über die Lebensdauer, auf Englisch Customer Lifetime Value (CLV), ist der Barwert aller Deckungsbeiträge, die ein Kunde über seine gesamte Zeit als Kunde bringen wird. Er verbindet drei Ideen von dieser Seite: die Marge je Periode, die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde bleibt, und die Abzinsung für Geld, das erst später kommt. Die Frage: wie viel darf mich ein neuer Kunde kosten, bevor ich draufzahle? Die geschlossene Formel, die ich benutze, stammt aus dem Standardwerk Marketing Metrics und setzt eine konstante Marge und eine konstante Bleibewahrscheinlichkeit voraus:²³

$$CLV = M \times \frac{r}{1 + d - r}$$

Dabei ist $CLV$ der Kundenwert in Euro, $M$ die Marge, die ein Kunde je Periode bringt (Deckungsbeitrag, nicht Umsatz), $r$ die Bleiberate oder Retention: der Anteil der Kunden, der von einer Periode zur nächsten bleibt, als Dezimalzahl, und $d$ der Abzinsungssatz je Periode. Der Bruch $\frac{r}{1 + d - r}$ ist das Ergebnis einer unendlichen Summe: jede weitere Periode bringt die Marge, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde noch da ist ($r$, dann $r^2$, dann $r^3$), und abgezinst mit $(1+d)$, $(1+d)^2$ und so weiter. Diese Summe lässt sich zu dem Bruch zusammenfassen, und die Formel zählt dabei die Marge der ersten Periode nicht mit, sondern erst die Margen der Folgeperioden. Wenn du die erste Periode mitzählen willst, addierst du $M$ dazu.

Rechenbeispiel: was eine Stammkundin von Korbwerk wert ist

Eine typische Stammkundin bringt Korbwerk 400 € Deckungsbeitrag im Jahr. Von den Kunden eines Jahres bestellen 70 % auch im nächsten Jahr wieder. Lena zinst mit 10 % ab. Also $M = 400$, $r = 0{,}70$, $d = 0{,}10$.

Schritt eins, der Nenner: $1 + 0{,}10 - 0{,}70 = 0{,}40$.

$$CLV = 400 \times \frac{0{,}70}{0{,}40} = 400 \times 1{,}75 = 700$$

Hier ist $400$ die Jahresmarge in Euro, $0{,}70$ die Bleiberate, $0{,}40$ der Nenner und $700$ der Kundenwert in Euro. Die künftigen Jahre einer neuen Kundin sind Lena heute 700 € wert, zusätzlich zu den 400 € aus dem ersten Jahr. Mehr als 700 € sollte sie also auf keinen Fall ausgeben, um eine Kundin zu gewinnen, deren erstes Jahr sie noch nicht kennt, und deutlich weniger, wenn sie daran verdienen will.

Jetzt schafft Lena es, mit einem besseren Service die Bleiberate auf 80 % zu heben. Der Nenner wird $1 + 0{,}10 - 0{,}80 = 0{,}30$:

$$CLV = 400 \times \frac{0{,}80}{0{,}30} = 400 \times 2{,}67 = 1.067$$

Hier ist $0{,}80$ die neue Bleiberate, $0{,}30$ der neue Nenner und $1.067$ der neue Kundenwert in Euro. Zehn Prozentpunkte mehr Bindung, und der Wert jeder Kundin steigt um mehr als die Hälfte. Genau diesen Hebel haben Reichheld und Sasser vor über dreißig Jahren beschrieben: weil die Bleiberate im Nenner steht, wirkt sie nicht linear, sondern immer stärker, je näher sie an 100 % kommt.²⁹

Auf der waagerechten Achse steht die Bleiberate von 50 % bis 90 %, auf der senkrechten der Kundenwert in Euro, jeweils bei 400 € Jahresmarge und 10 % Abzinsung. Bei 50 % sind es 333 €, bei 60 % 480 €, bei 70 % 700 €, bei 80 % 1.067 € und bei 90 % 1.800 €. Die Linie ist keine Gerade: jeder Schritt um zehn Prozentpunkte bringt mehr als der vorige, und von 80 % auf 90 % verdoppelt sich der Wert fast. Für Lena heißt das: ab einer gewissen Bindung ist jeder Euro, der Kunden hält, mehr wert als jeder Euro, der neue holt.

Wo es schiefgeht

Umsatz statt Marge in $M$ zu stecken. Bringt die Stammkundin 1.200 € Umsatz im Jahr und Lena rechnet damit, kommt ein Kundenwert von 2.100 € heraus, und sie gibt für Werbung Geld aus, das sie nie verdient hat, weil in den 1.200 € die Ware, der Versand und die Verpackung stecken. $M$ ist, was nach allen Kosten übrig bleibt, die mit der Kundin kommen und gehen. Alles andere ist eine Wunschrechnung mit Formel.

Der Grenzertrag, und warum der Durchschnitt täuscht

Der Durchschnitt sagt, was du über alles Bisherige hinweg bekommen hast. Der Grenzwert sagt, was die nächste Einheit bringt. Die Grenzkosten sind die Kosten des nächsten Stücks, der Grenzertrag ist der Ertrag des nächsten Euros, den du ausgibst, und bei fast jeder Entscheidung im Unternehmen zählt die nächste Einheit, nicht der Durchschnitt der bisherigen, denn über die bisherigen entscheidest du nicht mehr.²³ Die Frage: was bringt mir der nächste Euro, den ich ausgebe?

$$\text{Grenzertrag} = \frac{\Delta\,\text{Umsatz}}{\Delta\,\text{Ausgaben}}$$

Dabei ist $\text{Grenzertrag}$ der zusätzliche Umsatz je zusätzlichem Euro Ausgaben, $\Delta\,\text{Umsatz}$ der Umsatz, der durch die letzte Erhöhung der Ausgaben dazugekommen ist (das Delta steht wieder für Unterschied, wie bei Prozent), und $\Delta\,\text{Ausgaben}$ die letzte Erhöhung der Ausgaben selbst. Der Durchschnittsertrag wäre dagegen der gesamte Umsatz geteilt durch die gesamten Ausgaben, und die beiden gehen auseinander, sobald die nächste Einheit weniger bringt als die vorigen. Das tut sie fast immer, denn du erreichst die williger Kaufenden zuerst.

Rechenbeispiel: was der nächste Werbeeuro bei Korbwerk noch bringt

Lena gibt im November 10.000 € für Suchanzeigen aus und erzielt darüber 40.000 € Umsatz. Der Durchschnittsertrag: $40.000 / 10.000 = 4{,}0$, jeder Euro Werbung bringt vier Euro Umsatz. Ermutigt legt sie 5.000 € nach. Der Umsatz aus den Anzeigen steigt auf 50.000 €. Der Grenzertrag der Nachlage:

$$\text{Grenzertrag} = \frac{50.000 - 40.000}{15.000 - 10.000} = \frac{10.000}{5.000} = 2{,}0$$

Hier ist $50.000 - 40.000 = 10.000$ der zusätzliche Umsatz in Euro, $15.000 - 10.000 = 5.000$ die zusätzlichen Ausgaben in Euro, und $2{,}0$ der Grenzertrag. Die zusätzlichen 5.000 € haben nur noch das Doppelte gebracht, halb so viel wie die ersten 10.000 €. Der Durchschnitt über alles sieht trotzdem gut aus: $50.000 / 15.000 = 3{,}3$. Er ist von 4,0 auf 3,3 gesunken, und genau dieser sanfte Rückgang versteckt, dass der letzte Schritt nur noch 2,0 gebracht hat. Ob 2,0 reicht, hängt an Lenas Marge: bei 40 % Rohertrag bringen zwei Euro Umsatz 80 Cent Deckungsbeitrag je Werbeeuro, also einen Verlust von 20 Cent je Euro. Die ersten 10.000 € waren ein Gewinn, die nächsten 5.000 € ein Verlust, und die Durchschnittszahl 3,3 hätte beides als Erfolg verkauft.

Wo es schiefgeht

Ein Budget auf Basis des Durchschnitts hochskalieren. "Vier Euro je Werbeeuro, also verdoppeln wir das Budget" setzt voraus, dass die nächsten 10.000 € so gut sind wie die ersten, und das sind sie fast nie, weil die interessiertesten Käufer schon gekauft haben. Wer skaliert, erhöht in Schritten, misst nach jedem Schritt den Grenzertrag und hört dort auf, wo er unter die Marge fällt. Der Durchschnitt ist die Zahl für den Jahresbericht, der Grenzertrag ist die Zahl für die Entscheidung.

Logarithmen

Ein Logarithmus beantwortet die Frage: wie oft muss ich eine Basis mit sich selbst multiplizieren, um eine bestimmte Zahl zu bekommen? Der Zehnerlogarithmus von 1.000 ist 3, weil $10 \times 10 \times 10 = 1.000$. Der von 100.000 ist 5. Der natürliche Logarithmus, geschrieben $\ln$, benutzt statt 10 die Eulersche Zahl $e \approx 2{,}718$ als Basis, und er ist der, der in der Statistik und bei Wachstumsrechnungen fast immer gemeint ist. Logarithmus und Exponentialfunktion sind Umkehrungen voneinander: $\ln(e^x) = x$. Die wichtigste Eigenschaft für die Praxis ist, dass Logarithmen aus Multiplikation Addition machen:³⁰

$$\log(ab) = \log a + \log b$$

Dabei ist $\log$ ein Logarithmus zu irgendeiner Basis (die Regel gilt für alle), $a$ und $b$ zwei positive Zahlen, $ab$ ihr Produkt, und die rechte Seite die Summe der beiden einzelnen Logarithmen. Deshalb wird auf einer logarithmischen Achse aus "mal 10" immer derselbe Schritt, egal ob von 10 auf 100 oder von 10.000 auf 100.000, und deshalb wird aus dem Zinseszins, der multipliziert, auf der Log Skala eine Gerade, die addiert. Abnehmende Erträge, wie sie beim Grenzertrag auftauchen, folgen oft einer Logarithmuskurve: die ersten Einheiten bringen viel, jede Verdopplung des Einsatzes bringt danach denselben festen Zuwachs.

Rechenbeispiel: wie Korbwerk zwei sehr verschiedene Kanäle auf ein Diagramm bekommt

Lena will den Umsatz ihrer Partnerlinks, rund 1.000 € im Monat, und den Umsatz des ganzen Shops, rund 100.000 € im Dezember, auf einem Diagramm zeigen. Auf einer gewöhnlichen Achse von 0 € bis 100.000 € ist die Linie der Partnerlinks ein flacher Strich am Boden, und ob sie um 10 % gewachsen ist, sieht niemand. Auf einer Log Skala werden beide sichtbar. Der Zehnerlogarithmus von 1.000 € ist $\log_{10}(1.000) = 3$, der von 100.000 € ist $\log_{10}(100.000) = 5$. Zwei Einheiten Abstand auf der Achse, statt 99.000 €.

Jetzt wachsen beide um 10 %: die Partnerlinks auf 1.100 €, der Shop auf 110.000 €. Auf der Log Skala:

$$\log_{10}(1.100) - \log_{10}(1.000) = \log_{10}\!\left(\frac{1.100}{1.000}\right) = \log_{10}(1{,}1) = 0{,}041$$

Hier ist $\log_{10}$ der Zehnerlogarithmus, $1.100$ und $1.000$ der neue und der alte Umsatz der Partnerlinks, $1{,}1$ ihr Verhältnis und $0{,}041$ der Schritt auf der Log Achse. Für den Shop ist der Schritt $\log_{10}(110.000) - \log_{10}(100.000) = \log_{10}(1{,}1) = 0{,}041$, exakt derselbe. Ein Wachstum um 10 % sieht auf der Log Skala an beiden Enden gleich groß aus, und genau das will Lena sehen: wer wächst schneller, nicht wer größer ist. Und als Zugabe die Regel von 70 aus dem Abschnitt über Wachstum: $\ln 2 = 0{,}693$, also rund 70 %, und geteilt durch die Wachstumsrate in Prozent ergibt das die Verdopplungszeit.

Wo es schiefgeht

Ein Log Diagramm wie ein gewöhnliches zu lesen. Auf einer Log Achse sieht eine Verdopplung von 1.000 € auf 2.000 € genauso groß aus wie eine von 50.000 € auf 100.000 €, und wer das nicht weiß, hält den kleinen Kanal für genauso bedeutend wie den großen. Umgekehrt wirkt exponentielles Wachstum auf einer Log Skala wie eine ruhige Gerade und verliert jede Dramatik. Jede Achse, die nicht bei null beginnt oder nicht gleichmäßig steigt, verdient einen Blick auf die Beschriftung, bevor du die Kurve liest.

Indexreihen und die Basisrate

Zwei Ideen, die beide mit dem Wort "Basis" zu tun haben. Eine Indexreihe setzt einen Ausgangswert auf 100 und drückt alle späteren Werte im Verhältnis dazu aus, so wie der Verbraucherpreisindex des Statistischen Bundesamts, der das Jahr 2020 auf 100 setzt.³¹ Das macht Reihen mit ganz verschiedenen Größenordnungen vergleichbar: Besucher, Bestellungen und Umsatz lassen sich auf einem Diagramm zeigen, wenn alle im Januar bei 100 starten. Die Frage: wie hat sich etwas relativ zu seinem Startpunkt entwickelt?

$$I_t = \frac{v_t}{v_0} \times 100$$

Dabei ist $I_t$ der Indexwert zum Zeitpunkt $t$, $v_t$ der tatsächliche Wert zu diesem Zeitpunkt, $v_0$ der Wert in der Basisperiode, und die Multiplikation mit $100$ setzt die Basis auf 100. Ein Index von 120 heißt plus 20 % gegenüber der Basis, ein Index von 85 heißt minus 15 %. Ein Index ist also nichts anderes als eine Veränderung in Prozent plus 100.

Die Basisrate ist etwas anderes: die Häufigkeit, mit der etwas von sich aus vorkommt, bevor du irgendeinen Hinweis hast. Sie zu vergessen ist der häufigste Fehler im Umgang mit Wahrscheinlichkeiten, und er hat einen Namen, der Basisratenfehler. Ein Test, ein Filter oder ein Modell, das "99 % genau" ist, kann bei einem seltenen Ereignis trotzdem fast nur Fehlalarme liefern, weil die vielen Fälle, in denen das Ereignis nicht vorliegt, auch bei 1 % Fehlerquote mehr Fehlalarme erzeugen, als es echte Fälle gibt.

Rechenbeispiel: die Seitenaufrufe von Korbwerk als Index, und der Betrugsfilter

Erst der Index. Korbwerk hatte im Januar 85.000 Seitenaufrufe und im Dezember 102.000. Lena setzt den Januar auf 100:

$$I_{\text{Dez}} = \frac{102.000}{85.000} \times 100 = 1{,}20 \times 100 = 120$$

Hier ist $102.000$ die Zahl der Seitenaufrufe im Dezember, $85.000$ die im Januar als Basis, $1{,}20$ ihr Verhältnis und $120$ der Dezemberindex. Die Seitenaufrufe liegen im Dezember 20 % über dem Januar. Wenn der Umsatzindex im selben Monat bei 150 steht, sieht Lena auf einen Blick, dass der Umsatz schneller gewachsen ist als die Seitenaufrufe, also der Umsatz je Aufruf gestiegen ist, ohne eine einzige weitere Rechnung.

Dann die Basisrate. Korbwerk bekommt 10.000 Bestellungen im Jahr, und 0,1 % davon, also zehn, sind Betrugsversuche mit gestohlenen Kartendaten. Lena schaltet einen Betrugsfilter ein, der zu 99 % richtig liegt: er erkennt 99 % der Betrugsfälle und lässt 99 % der ehrlichen Bestellungen durch. Von den zehn Betrugsfällen erkennt er also rund $0{,}99 \times 10 = 9{,}9$, nennen wir es zehn. Von den 9.990 ehrlichen Bestellungen hält er aber $0{,}01 \times 9.990 = 99{,}9$ fälschlich an, rund 100. Der Filter schlägt also etwa 110 Mal Alarm, und in 100 dieser Fälle ist die Bestellung ehrlich. Auf jeden echten Betrug kommen zehn ehrliche Kunden, die eine unangenehme Mail bekommen oder gar nicht beliefert werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine angehaltene Bestellung wirklich Betrug ist, liegt bei $10 / 110 = 9\,\%$, nicht bei 99 %. Das ist der Satz von Bayes in ganzen Zahlen, und die Basisrate von 0,1 % ist das, was ihn dominiert.

Wo es schiefgeht

Eine relative Veränderung ohne ihre Basis zu nennen. "Die neue Anzeige hat die Klickrate um 50 % gesteigert" klingt nach viel. Wenn die Basis 0,2 % war, steht die Klickrate jetzt bei 0,3 %: 0,1 Prozentpunkte, drei statt zwei Klicks je 1.000 Impressionen. Dieselbe Zahl, 50 %, wäre bei einer Basis von 20 % ein Erdrutsch. Eine Prozentangabe ohne Basis ist keine Information, und wer eine liest, fragt als Erstes: 50 % wovon?

Saisonalität und gleitende Durchschnitte

Saisonalität ist das Muster, das sich jedes Jahr wiederholt: der Dezember für einen Geschenkeshop, der Sommer für eine Eisdiele, der Januar für ein Fitnessstudio. Es überlagert alles, was du eigentlich sehen willst, nämlich ob das Geschäft wächst. Drei Werkzeuge helfen. Der gleitende Durchschnitt glättet die Reihe, indem er jeden Wert durch den Mittelwert der letzten $k$ Werte ersetzt.³² Der Saisonindex sagt, wie stark ein Monat typischerweise über oder unter dem Jahresdurchschnitt liegt.³³ Und der Vergleich zum Vorjahresmonat umgeht die Saison ganz, indem er Dezember nur mit Dezember vergleicht. Das Statistische Bundesamt macht nichts anderes, wenn es Konjunkturzahlen saisonbereinigt veröffentlicht, nur mit aufwendigeren Verfahren.³⁴

$$MA_t = \frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1} x_{t-i}$$

Dabei ist $MA_t$ der gleitende Durchschnitt (auf Englisch moving average) zum Zeitpunkt $t$, $k$ die Fensterbreite, also wie viele Perioden gemittelt werden, $x_{t-i}$ der Wert $i$ Perioden vor $t$, und die Summe läuft von $i = 0$ (der aktuelle Monat) bis $i = k - 1$ (der älteste Monat im Fenster). Mit $k = 12$ deckt das Fenster immer genau ein Jahr ab, jede Saison kommt genau einmal vor, und die Saisonalität fällt heraus. Der Saisonindex eines Monats ist sein Wert geteilt durch den Durchschnittsmonat, also durch $MA_t$ oder durch den Jahresmittelwert.

Rechenbeispiel: wie stark der Dezember bei Korbwerk über dem Rest des Jahres liegt

Korbwerk hat im letzten Jahr 510.000 € Umsatz gemacht. Der zwölfmonatige gleitende Durchschnitt zum Dezember ist der Mittelwert der zwölf Monate Januar bis Dezember:

$$MA_{\text{Dez}} = \frac{1}{12} \times 510.000 = 42.500$$

Hier ist $510.000$ die Summe der zwölf Monatsumsätze in Euro, $12$ die Fensterbreite und $42.500$ der Durchschnittsmonat in Euro. Der Dezember brachte 102.000 €, der Juli 21.250 €. Die Saisonindizes:

$$\text{Index}_{\text{Dez}} = \frac{102.000}{42.500} = 2{,}4 \qquad \text{Index}_{\text{Jul}} = \frac{21.250}{42.500} = 0{,}5$$

Hier ist $102.000$ der Dezemberumsatz, $21.250$ der Juliumsatz, $42.500$ der Durchschnittsmonat, $2{,}4$ der Dezemberindex und $0{,}5$ der Juliindex. Ein typischer Dezember bringt also das 2,4fache eines Durchschnittsmonats, ein typischer Juli die Hälfte. Für Lena heißt das zweierlei: Lager und Personal für den Dezember werden am 2,4fachen bemessen, nicht am Durchschnitt, und ein Juli mit 24.000 € ist kein schlechter Monat, sondern ein guter Juli, weil der Index 0,56 statt 0,5 beträgt.

Auf der waagerechten Achse stehen die zwölf Monate, auf der senkrechten der Umsatz in Euro. Die bewegte Linie ist der Monatsumsatz: ein Tal im Sommer mit 21.250 € im Juli, ein steiler Anstieg ab Oktober, im November schon 98.750 €, der Gipfel im Dezember bei 102.000 €. Die flache Linie bei 42.500 € ist der zwölfmonatige gleitende Durchschnitt, der die Saison herausrechnet. Wächst das Geschäft, steigt diese flache Linie von Jahr zu Jahr langsam an, und genau das ist die Linie, die Lena beobachten sollte, nicht die Zacken.

Wo es schiefgeht

November mit Oktober zu vergleichen und das Wachstum zu nennen. Bei Korbwerk verdoppelt sich der Umsatz jedes Jahr von Oktober auf November, von 50.000 € auf 98.750 €, und das ist die Saison, nicht Lenas Marketing. Wachstum zeigt sich im Vergleich zum Vorjahresmonat (dieser November gegen den letzten) oder im gleitenden Durchschnitt. Umgekehrt ist ein Januar, der 75 % unter dem Dezember liegt, kein Einbruch, sondern ein Januar. Wer die Saison nicht kennt, feiert und erschrickt jedes Jahr an denselben Tagen.

Matrizen

Eine Matrix ist eine Tabelle aus Zahlen mit Zeilen und Spalten, und mehr steckt zunächst nicht dahinter. Ein Vektor ist eine Matrix mit nur einer Spalte, also eine Liste. Der Grund, warum Matrizen in Artikeln über Marketing Mix Modelle oder Hauptkomponentenanalyse auftauchen, ist reine Bequemlichkeit: sie erlauben es, viele Gleichungen auf einmal hinzuschreiben und auszurechnen.³⁵ Eine Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren heißt, für jede Zeile der Matrix ihre Einträge mit den Einträgen des Vektors zu multiplizieren und die Produkte zu addieren. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor mit so vielen Einträgen, wie die Matrix Zeilen hat. Die Frage: wie rechne ich viele gleichartige Dinge in einem Schritt?

$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$$

Dabei ist $\mathbf{y}$ der Ergebnisvektor (fett gedruckt, so werden Vektoren und Matrizen markiert), etwa der Umsatz je Monat, $\mathbf{X}$ die Matrix der Eingangsgrößen mit einer Zeile je Monat und einer Spalte je Kanal, und $\boldsymbol{\beta}$ der Vektor der Koeffizienten, also der Ertrag je Euro für jeden Kanal. Es ist dieselbe Gleichung wie bei der Regression, $y = \beta_0 + \beta_1 x$, nur für viele Monate und viele Kanäle gleichzeitig, und genau so schreiben Statistikprogramme sie intern.

Rechenbeispiel: drei Kanäle und drei Monate bei Korbwerk in einem Rutsch

Lena hat im Oktober, November und Dezember Geld in drei Kanäle gesteckt: Suchanzeigen, Social Media und den Newsletter. Die Ausgaben in Euro, eine Zeile je Monat, eine Spalte je Kanal:

$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} 2.000 & 1.000 & 500 \\ 4.000 & 2.000 & 500 \\ 6.000 & 3.000 & 1.000 \end{bmatrix}$$

Hier ist $\mathbf{X}$ die Ausgabenmatrix, die erste Zeile der Oktober, die zweite der November, die dritte der Dezember, und die Spalten sind Suche, Social Media und Newsletter. Aus Erfahrung schätzt Lena, was jeder Kanal je Euro zurückbringt: Suche 4 €, Social Media 2 €, Newsletter 10 €. Das ist der Vektor $\boldsymbol{\beta}$:

$$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 10 \end{bmatrix}$$

Hier ist $\boldsymbol{\beta}$ der Vektor der Erträge je Euro, in derselben Reihenfolge wie die Spalten der Matrix. Jetzt die Multiplikation, Zeile für Zeile: für den Oktober multipliziert Lena die erste Zeile mit dem Vektor und addiert, $2.000 \times 4 + 1.000 \times 2 + 500 \times 10 = 8.000 + 2.000 + 5.000 = 15.000$. Für den November: $4.000 \times 4 + 2.000 \times 2 + 500 \times 10 = 16.000 + 4.000 + 5.000 = 25.000$. Für den Dezember: $6.000 \times 4 + 3.000 \times 2 + 1.000 \times 10 = 24.000 + 6.000 + 10.000 = 40.000$.

$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 15.000 \\ 25.000 \\ 40.000 \end{bmatrix}$$

Hier ist $\mathbf{y}$ der Vektor des Umsatzes je Monat in Euro, den die drei Kanäle zusammen gebracht haben: 15.000 € im Oktober, 25.000 € im November, 40.000 € im Dezember. Drei Gleichungen, eine Zeile Mathematik. Mit 36 Monaten und acht Kanälen wäre es immer noch eine Zeile, und das ist der ganze Grund, warum ein Marketing Mix Modell in Matrizen geschrieben wird. Die Kunst steckt im umgekehrten Problem: $\mathbf{y}$ und $\mathbf{X}$ sind bekannt, der Umsatz und die Ausgaben, und gesucht ist $\boldsymbol{\beta}$, was jeder Kanal wirklich bringt. Das ist die Regression mit mehreren Eingängen, und sie löst genau diese Gleichung nach $\boldsymbol{\beta}$ auf.

Wo es schiefgeht

Hier geht eigentlich nichts schief, außer dass die Schreibweise Respekt einflößt, den sie nicht verdient. Eine Matrix ist Buchhaltung für viele Gleichungen auf einmal, nicht mehr. Wenn dir in einem Artikel eine fettgedruckte Formel begegnet, lies sie als "dieselbe einfache Rechnung, nur für alle Zeilen gleichzeitig", und du liegst fast immer richtig.

Footnotes

1. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, OpenStax, Rice University, 2023, https://openstax.org/details/books/introductory-statistics-2e

2. Eurostat, Statistics Explained: Statistisches Konzept, prozentuale Veränderung und Prozentpunkte (deutsche Fassung), Europäische Kommission, https://ec.europa.eu/eurostat/statistics-explained/index.php/Beginners:Statistical_concept_-_Percentage_change_and_percentage_points/de

3. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 2.5 Measures of the Center of the Data, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-5-measures-of-the-center-of-the-data

4. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 2.6 Skewness and the Mean, Median, and Mode, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-6-skewness-and-the-mean-median-and-mode

5. Fahrmeir, Heumann, Künstler, Pigeot und Tutz, Statistik: Der Weg zur Datenanalyse, 8. Auflage, Springer Spektrum, 2016, https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-50372-0

6. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 2.7 Measures of the Spread of the Data, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data

7. NIST/SEMATECH, Engineering Statistics Handbook, Abschnitt 1.3.6.6.1 Normal Distribution, National Institute of Standards and Technology, https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm

8. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 6.1 The Standard Normal Distribution, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/6-1-the-standard-normal-distribution

9. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 4.3 Binomial Distribution, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-3-binomial-distribution

10. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 4.6 Poisson Distribution, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-6-poisson-distribution

11. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 7.1 The Central Limit Theorem for Sample Means (Averages), OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages

12. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 3.3 Two Basic Rules of Probability, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-3-two-basic-rules-of-probability

13. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 3.2 Independent and Mutually Exclusive Events, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-2-independent-and-mutually-exclusive-events

14. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-2-mean-or-expected-value-and-standard-deviation

15. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 8.3 A Population Proportion, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/8-3-a-population-proportion

16. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 8.1 A Single Population Mean using the Normal Distribution, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/8-1-a-single-population-mean-using-the-normal-distribution

17. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 9.1 Null and Alternative Hypotheses, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/9-1-null-and-alternative-hypotheses

18. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 9.2 Outcomes and the Type I and Type II Errors, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/9-2-outcomes-and-the-type-i-and-type-ii-errors

19. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 10.3 Comparing Two Independent Population Proportions, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/10-3-comparing-two-independent-population-proportions

20. NIST/SEMATECH, Engineering Statistics Handbook, Abschnitt 7.2.4.2 Sample sizes required, National Institute of Standards and Technology, https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc242.htm

21. Illowsky und Dean, Introductory Statistics 2e, Abschnitt 12.3 The Regression Equation, OpenStax, 2023, https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/12-3-the-regression-equation

22. Penn State Eberly College of Science, STAT 462 Applied Regression Analysis, Lektion 12.1 Logistic Regression, https://online.stat.psu.edu/stat462/node/207/

23. Bendle, Farris, Pfeifer und Reibstein, Marketing Metrics: The Manager's Guide to Measuring Marketing Performance, 4. Auflage, Pearson, 2021, https://www.pearson.com/en-us/subject-catalog/p/marketing-metrics/P200000009350/9780136717133

24. Wikipedia (deutsch), Wachstumsrate, Abschnitt zur durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate (CAGR), nur für die Definition herangezogen, https://de.wikipedia.org/wiki/Wachstumsrate

25. OpenStax, Principles of Finance, Abschnitt 7.4 Applications of TVM in Finance (Rule of 72), 2022, https://openstax.org/books/principles-finance/pages/7-4-applications-of-tvm-in-finance

26. OpenStax, Principles of Finance, Abschnitt 7.2 Time Value of Money (TVM) Basics, 2022, https://openstax.org/books/principles-finance/pages/7-2-time-value-of-money-tvm-basics

27. Deutsche Bundesbank, Abzinsungszinssätze gemäß § 253 Abs. 2 HGB, https://www.bundesbank.de/de/statistiken/geld-und-kapitalmaerkte/zinssaetze-und-renditen/abzinsungszinssaetze

28. OpenStax, Principles of Finance, Abschnitt 16.2 Net Present Value (NPV) Method, 2022, https://openstax.org/books/principles-finance/pages/16-2-net-present-value-npv-method

29. Reichheld und Sasser, Zero Defections: Quality Comes to Services, Harvard Business Review, September 1990, https://hbr.org/1990/09/zero-defections-quality-comes-to-services

30. OpenStax, College Algebra 2e, Abschnitt 6.5 Logarithmic Properties, 2021, https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/6-5-logarithmic-properties

31. Statistisches Bundesamt (Destatis), Verbraucherpreisindex und Inflationsrate, Basisjahr 2020 = 100, https://www.destatis.de/DE/Themen/Wirtschaft/Preise/Verbraucherpreisindex/_inhalt.html

32. NIST/SEMATECH, Engineering Statistics Handbook, Abschnitt 6.4.2.1 Single Moving Average, National Institute of Standards and Technology, https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc421.htm

33. NIST/SEMATECH, Engineering Statistics Handbook, Abschnitt 6.4.4.3 Seasonality, National Institute of Standards and Technology, https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc443.htm

34. Statistisches Bundesamt (Destatis), Methoden: Saisonbereinigung, https://www.destatis.de/DE/Methoden/Saisonbereinigung/_inhalt.html

35. OpenStax, College Algebra 2e, Abschnitt 7.5 Matrices and Matrix Operations, 2021, https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/7-5-matrices-and-matrix-operations