Die Mathematik hinter dem Wachstumsmarketing, erklärt

Warum Wachstum überhaupt Mathematik braucht

Psychologie weckt Interesse. Daten bringen dir die Finanzierung. Jedes Prinzip dieser Reihe, von der Knappheit bis zur Gewohnheitsbildung, endet als Zahl, die jemand messen und verteidigen muss. Das hier ist das letzte Kapitel, und es ist der Werkzeugkasten, den ich jeden Tag nutze, um über Neukundengewinnung, Bindung, Preise und Experimente zu entscheiden.

Bist du neu in dem Thema, bekommst du zu jeder Idee eine einfache Erklärung und ein durchgerechnetes Beispiel. Kennst du dich mit Statistik aus, bekommst du die Formeln, die Sonderfälle und kurzes Python. Jede Firma und jede Zahl in den Beispielen ist erfunden, damit sich die Rechnung vollständig zeigen lässt, und jede Formel verlinkt auf ihren Abschnitt der Seite Grundlagen.

Customer Lifetime Value gegen Akquisekosten: zahlt sich das Wachstum aus

Der Customer Lifetime Value (LTV) ist der gesamte Rohertrag, den ein Kunde über die ganze Beziehung bringt. Die Customer Acquisition Cost (CAC) ist das, was du ausgegeben hast, um ihn zu gewinnen. Ein Kunde lohnt sich, wenn das Erste deutlich größer ist als das Zweite.

$$LTV = ARPU \times m \times L$$

Dabei ist $LTV$ der Customer Lifetime Value in Euro, $ARPU$ der durchschnittliche Umsatz pro Nutzer in einer Periode (etwa einem Monat), $m$ die Rohertragsmarge als Anteil zwischen 0 und 1 und $L$ die durchschnittliche Lebensdauer eines Kunden in denselben Perioden wie $ARPU$. Grundlagen: Customer Lifetime Value

Bei einer gleichbleibenden monatlichen Kündigungsrate ist die Lebensdauer eins geteilt durch die Kündigungsrate ($1 / 0{,}05 = 20$ Monate bei 5 %), und daraus folgt:

$$LTV = \frac{ARPU \times m}{c}$$

Dabei sind $ARPU$ und $m$ wie oben, und $c$ ist die Kündigungsrate pro Periode als Anteil, also ist $1/c$ die erwartete Lebensdauer. Die Formel nimmt an, dass jeden Monat gleich viele kündigen. Grundlagen: Customer Lifetime Value

Das Verhältnis selbst:

$$R = \frac{LTV}{CAC}$$

Dabei ist $R$ das Verhältnis, $LTV$ der Customer Lifetime Value und $CAC$ die durchschnittlichen Akquisekosten pro Neukunde, beide in Euro. Grundlagen: Verhältnisse und Raten

Die gängige Richtschnur stammt aus David Skoks Arbeit zu SaaS Kennzahlen: Ein gesundes SaaS Geschäft hat ein Verhältnis von LTV zu CAC über 3, und die besten kommen auf 7 oder 8.¹ Er nennt das Richtwerte, keine Gesetze. Unter 1 verlierst du an jedem Kunden Geld, den du gewinnst.

Beispiel: eine App für Dienstpläne in Köln

Plantakt (plantakt.example) ist ein erfundenes SaaS aus Köln, das Cafés eine Software für Dienstpläne für 99 € im Monat verkauft. Die Rohertragsmarge liegt bei 80 %, die monatliche Kündigungsrate bei 3 %, und ein Kunde kostet in der Gewinnung 400 €.

1. Lebensdauer: $1 / 0{,}03 = 33{,}3$ Monate.
2. Monatlicher Rohertrag pro Kunde: $99 \times 0{,}80 = 79{,}20$ Euro.
3. Customer Lifetime Value: $79{,}20 / 0{,}03 = 2.640$ Euro.
4. Verhältnis: $2.640 / 400 = 6{,}6$.

Die waagrechte Achse zeigt die monatliche Kündigungsrate, die senkrechte das Verhältnis für Plantakt. Steigt die Kündigungsrate von 3 % auf 5 %, fällt das Verhältnis von 6,6 auf 4,0, und ab 8 % liegt es unter der Richtschnur von 3. Ein oder zwei Punkte Kündigungsrate zählen mehr als die meisten Optimierungen in der Akquise.

def ltv(arpu, margin, churn):
    if churn <= 0:
        raise ValueError("churn must be positive")
    return arpu * margin / churn

cac = 400
for churn in [0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.08, 0.10]:
    value = ltv(99, 0.80, churn)
    print(f"churn {churn:.0%}: LTV €{value:,.0f}, ratio {value / cac:.1f}")

Die Amortisation sagt dir, ob du dir das Wachstum leisten kannst

Die Amortisationszeit (Payback) sagt, wie lange du wartest, bis das Geld für die Akquise zurückkommt. Das ist eine Frage der Liquidität: Zwei Jahre Amortisation heißt, du finanzierst zwei Jahre Akquise vor, bevor das Geld wieder hereinkommt.

$$P = \frac{CAC}{ARPU \times m}$$

Dabei ist $P$ die Amortisationszeit in Monaten, $CAC$ die Akquisekosten und $ARPU \times m$ der Rohertrag, den ein Kunde jeden Monat bringt. Grundlagen: Verhältnisse und Raten

Für ein Geschäft mit 500 € CAC, 100 € ARPU im Monat und 80 % Rohertragsmarge:

$$P = \frac{500}{100 \times 0{,}80} = \frac{500}{80} = 6{,}25$$

Also $P = 6{,}25$ Monate. Skoks zweite Richtschnur lautet, die CAC in weniger als 12 Monaten zurückzuholen, und er merkt an, dass viele der besten SaaS Firmen das in fünf bis sieben schaffen.¹

Beispiel: Amortisation, wenn manche Kunden vorher gehen

Nimm ein erfundenes Geschäft mit 500 € CAC, 80 € ARPU im Monat, 75 % Marge und 4 % monatlicher Kündigungsrate, und zähle den ersten Monat als immer bezahlt.

1. Monatlicher Rohertrag: $80 \times 0{,}75 = 60$ Euro.
2. Einfache Amortisation: $500 / 60 = 8{,}3$ Monate, also neun Zahlungen.
3. Anteil der Kunden, die im neunten Monat noch zahlen: $0{,}96^{8} = 0{,}72$. Mehr als ein Viertel geht, bevor die eigenen Akquisekosten wieder drin sind.
4. Über die ganze Gruppe ist der durchschnittliche Rohertrag pro gewonnenem Kunden nach $n$ Monaten $60 \times (1 + 0{,}96 + \dots + 0{,}96^{n-1})$. Er überschreitet 500 € im zehnten Monat (502,75 €), nicht im neunten.

Kohorten zeigen, was Durchschnitte verstecken

Eine Kohorte ist eine Gruppe von Kunden mit demselben Startpunkt, meist dem Monat ihres ersten Kaufs. Wer jede Gruppe über die Zeit verfolgt, sieht, was ein einziger gemischter Durchschnitt versteckt.

Beispiel: zwei Kohorten hinter einem Durchschnitt

Fleetblatt (fleetblatt.example) ist ein erfundenes Teeabo aus Hamburg. Seine 1.000 Kunden geben im Schnitt 50 € im Monat aus. Das sieht gut aus. Nach Kohorten aufgeteilt geben 500 Kunden, die im Januar dazukamen, 80 € im Monat aus und 500, die im Juni dazukamen, 20 €:

$$\frac{500 \times 80 + 500 \times 20}{1.000} = \frac{50.000}{1.000} = 50$$

Die gemischten $50$ Euro verstecken ein Problem, dem es sich nachzugehen lohnt. Bei der Bindung funktioniert es genauso. Lies eine Kohortentabelle in der Spalte nach unten, um Kohorten im selben Alter zu vergleichen, und in der Zeile nach rechts, um zu sehen, wie eine Kohorte schrumpft.

Kohorte	Kunden	Monat 1	Monat 3	Monat 6
Januar	200	60 %	45 %	38 %
April	220	52 %	35 %	27 %

Die Aprilkunden fallen in jedem Alter schneller weg, was ein gemischter Durchschnitt nur als sanften Rückgang zeigen würde. Dieselbe Gruppierung liefert Umsatz, Customer Lifetime Value und CAC pro Kohorte, ein einziges groupby in pandas.

Die Survival Analyse modelliert Kündigungen so, wie sie passieren

Eine einzige Kündigungsrate behandelt einen Kunden von einer Woche wie einen von drei Jahren. Die Survival Analyse, aus der medizinischen Statistik entlehnt, modelliert, wie lange Kunden bleiben, und geht ehrlich mit denen um, die noch nicht gegangen sind.² Ausführlich steht das in Survival Analyse, Churn und Customer Lifetime Value.

Die Überlebensfunktion ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde nach der Zeit $t$ noch bei dir ist:

$$S(t) = P(T > t)$$

Dabei ist $T$, wie lange ein Kunde bleibt (eine Zufallsvariable), $t$ ein Zeitpunkt wie 12 Monate, und $P(T > t)$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer länger als $t$ ist. Grundlagen: Wahrscheinlichkeit

Die Hazardfunktion ist die Rate, mit der Kunden zum Zeitpunkt $t$ gehen, unter denen, die es bis dahin geschafft haben:

$$h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \le T < t + \Delta t \mid T \ge t)}{\Delta t}$$

Dabei ist $h(t)$ der Hazard zum Zeitpunkt $t$, $\Delta t$ ein kleines Zeitstück nach $t$, $P(t \le T < t + \Delta t \mid T \ge t)$ die Wahrscheinlichkeit, in diesem Zeitstück zu gehen, wenn der Kunde zum Zeitpunkt $t$ noch da war, und der Grenzwert lässt das Zeitstück gegen null schrumpfen. Einfach gesagt: das Kündigungsrisiko genau jetzt für einen Kunden in diesem Alter. Grundlagen: Wahrscheinlichkeit

Der Kaplan Meier Schätzer zeichnet die Überlebenskurve aus den Daten, ohne eine Form anzunehmen:³

$$\hat{S}(t) = \prod_{t_i \le t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right)$$

Dabei ist $\hat{S}(t)$ das geschätzte Überleben zum Zeitpunkt $t$, $t_i$ sind die Zeitpunkte, an denen mindestens ein Kunde gegangen ist, $d_i$ die Zahl derer, die bei $t_i$ gegangen sind, $n_i$ die Zahl derer, die kurz vor $t_i$ noch im Risiko waren, und $\prod$ multipliziert die Faktoren für jedes $t_i$ bis $t$. Kunden, die noch aktiv sind (zensiert), zählen als im Risiko, bis ihre Daten enden, und fallen dann heraus, ohne als Kündigung zu zählen. Grundlagen: Wahrscheinlichkeit

Beispiel: zehn Kunden von Hand

Zehn erfundene Kunden von Plantakt. Fünf sind gegangen, in den Monaten 1, 1, 2, 4 und 6. Fünf sind noch aktiv und wurden 3, 5, 7, 8 und 8 Monate lang beobachtet.

1. Monat 1: 10 im Risiko, 2 gehen. $\hat{S} = 1 - 2/10 = 0{,}80$.
2. Monat 2: 8 im Risiko, 1 geht. $\hat{S} = 0{,}80 \times 7/8 = 0{,}70$.
3. Monat 3: Ein Datensatz endet, niemand geht, $\hat{S}$ bleibt bei 0,70.
4. Monat 4: 6 im Risiko, 1 geht. $\hat{S} = 0{,}70 \times 5/6 = 0{,}583$.
5. Monat 6: Ein weiterer Datensatz endete in Monat 5, also sind 4 im Risiko, 1 geht. $\hat{S} = 0{,}583 \times 3/4 = 0{,}4375$.

Rund 44 % überleben also sechs Monate. Eine naive Zählung (nur drei von zehn Datensätzen laufen über sechs Monate hinaus) käme auf 30 %. Die zensierten Kunden tragen echte Information, und Kaplan Meier nutzt sie.

def kaplan_meier(durations, churned):
    rows = sorted(zip(durations, churned))
    at_risk, s, curve = len(rows), 1.0, []
    for t in sorted({d for d, c in rows if c}):
        left = sum(1 for d, c in rows if d == t and c)
        at_risk = sum(1 for d, _ in rows if d >= t)
        s *= 1 - left / at_risk
        curve.append((t, at_risk, left, round(s, 4)))
    return curve

print(kaplan_meier([1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8],
                   [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0]))

Der Log Rank Test prüft, ob sich die Kurven zweier Kohorten stärker unterscheiden, als der Zufall erklärt. Die Bibliothek lifelines kann beides.³

Bayessche A/B Tests beantworten die Frage, die du wirklich gestellt hast

Ein klassischer Test, erklärt im kompletten Leitfaden zu digitalen Marketing Testmethoden, fragt, wie überraschend die Daten wären, wenn A und B gleich wären. Ein bayesscher Test fragt, was du wissen willst: Wie wahrscheinlich ist es, dass B besser ist? Er beruht auf dem Satz von Bayes:

$$P(\theta \mid D) = \frac{P(D \mid \theta)\, P(\theta)}{P(D)}$$

Dabei ist $\theta$ die unbekannte Conversion Rate, $D$ die beobachteten Daten, $P(\theta)$ der Prior (was du vor dem Test angenommen hast), $P(D \mid \theta)$ die Likelihood (wie wahrscheinlich die Daten bei einer bestimmten Rate sind), $P(D)$ die Gesamtwahrscheinlichkeit der Daten und $P(\theta \mid D)$ der Posterior, deine aktualisierte Einschätzung. Grundlagen: Wahrscheinlichkeit

Mit einem Beta Prior ist der Posterior einer Conversion Rate wieder eine Betaverteilung:

$$\theta \mid D \sim \text{Beta}(\alpha_0 + k,\ \beta_0 + n - k)$$

Dabei sind $\alpha_0$ und $\beta_0$ die Parameter des Priors ($\alpha_0 = \beta_0 = 1$ ist ein flacher Prior, der jede Rate für gleich wahrscheinlich hält), $k$ ist die Zahl der Conversions und $n$ die Zahl der Besucher, also ist $n - k$ die Zahl derer, die nicht konvertiert haben. Grundlagen: Verteilungen

Beispiel: ein Kerzenladen mit wenig Traffic

Connewitzer Kerzen (connewitzerkerzen.example) ist ein erfundener Laden aus Leipzig, der eine neue Produktseite testet. Fassung A: 48 Bestellungen bei 1.200 Besuchern (4,0 %). Fassung B: 59 Bestellungen bei 1.180 Besuchern (5,0 %).

1. Posteriors mit flachem Prior: A ist $\text{Beta}(49, 1.153)$, B ist $\text{Beta}(60, 1.122)$.
2. Zieh aus jeder 400.000 Stichproben und zähle, wie oft der Wert von B den von A schlägt: in 88 % der Fälle.
3. Erwarteter Verlust, die Conversion Rate, die du im Schnitt verschenkst, wenn du falsch wählst: rund 0,05 Prozentpunkte, wenn du B nimmst, und 1,05 Punkte, wenn du A nimmst.
4. Der relative Zuwachs von B hat ein 95 % Glaubwürdigkeitsintervall von minus 14 % bis plus 81 %.

Ein klassischer Test für zwei Anteile ergibt $z = 1{,}18$ und $p = 0{,}24$, "nicht signifikant". Beide sagen, die Belege sind dünn, aber die bayessche Lesart ist eine, nach der du handeln kannst: B ist wahrscheinlich besser, und es auszurollen, riskiert wenig.

import random

def prob_b_better(conv_a, n_a, conv_b, n_b, draws=400_000, seed=42):
    rng = random.Random(seed)
    wins = 0
    for _ in range(draws):
        a = rng.betavariate(1 + conv_a, 1 + n_a - conv_a)
        b = rng.betavariate(1 + conv_b, 1 + n_b - conv_b)
        wins += b > a
    return wins / draws

print(prob_b_better(48, 1200, 59, 1180))  # etwa 0.88

Zwischendurch nachschauen ist in keiner Schule umsonst

Die frühere Fassung dieses Artikels sagte, bei einem bayesschen Test dürfe man jederzeit nachschauen, ohne mehr falsch positive Ergebnisse zu bekommen. Das stimmt so nicht. Für klassische Tests zeigt Evan Miller, dass wiederholtes Nachschauen und Aufhören beim ersten signifikanten Ergebnis die Rate falsch positiver Ergebnisse auf 26,1 % statt 5 % treiben kann.⁴ Die Simulationen von David Robinson zeigen, dass auch ein bayesscher Test nicht immun ist, den man beendet, sobald der erwartete Verlust unter eine Schwelle fällt: Seine Fehlerraten hängen von der Abbruchregel ab.⁵ Leg die Abbruchregel fest, bevor der Test startet, egal, welcher Schule du folgst.

Bandits verschieben den Traffic zum Gewinner, während der Test läuft

Ein A/B Test teilt den Traffic bis zum Ende gleichmäßig auf, also sehen viele Besucher weiter die schwächere Fassung. Ein Multi Armed Bandit verschiebt den Traffic zur besseren Fassung, je mehr Belege zusammenkommen, und balanciert dabei Erkunden (Fassungen ausprobieren) und Ausnutzen (die bisher beste zeigen). Der Name kommt von Spielautomaten, den einarmigen Banditen.

Thompson Sampling, erstmals 1933 von William R. Thompson beschrieben, ist der Standardweg dafür.⁶⁷ Jede Fassung führt eine Betaverteilung für ihre Rate, wie im bayesschen Test. Für jeden Besucher gilt:

$$\tilde{\theta}_i \sim \text{Beta}(\alpha_i, \beta_i), \qquad j = \arg\max_i \tilde{\theta}_i$$

Dabei nummeriert $i$ die Fassungen, $\alpha_i$ ist die Zahl der Conversions von Fassung $i$ plus 1, $\beta_i$ die Zahl ihrer Nicht Conversions plus 1, $\tilde{\theta}_i$ ein zufälliger Wert aus ihrer Betaverteilung, und $j$ die Fassung mit dem höchsten Wert, die dieser Besucher sieht. Nach dem Besuch steigt $\alpha_j$ bei einer Conversion um 1 und sonst $\beta_j$ um 1. Grundlagen: Verteilungen Unsichere Fassungen gewinnen noch manche Ziehung, klar schlechtere bald keine mehr.

Beispiel: drei Fassungen, 10.000 Besucher

Drei erfundene Seitenfassungen mit wahren Conversion Rates von 3 %, 5 % und 4 %, die der Algorithmus nicht kennt. Jeder Durchlauf schickt 10.000 Besucher, und ich habe über 300 simulierte Durchläufe gemittelt.

1. Eine gleichmäßige Aufteilung bringt im Schnitt $10.000 \times (0{,}03 + 0{,}05 + 0{,}04)/3 = 400$ Conversions.
2. Thompson Sampling brachte im Schnitt 470, also 70 mehr.
3. Im Schnitt schickte es rund 7.700 Besucher zur Fassung mit 5 %, 1.720 zur Fassung mit 4 % und 570 zur Fassung mit 3 %.

Der Preis ist die Genauigkeit bei den Verlierern. Für eine saubere Messung jeder Fassung nimm einen Test. Für Conversions, während du lernst, nimm einen Bandit.

import random

def thompson(true_rates, visitors, seed=0):
    rng = random.Random(seed)
    k = len(true_rates)
    alpha, beta, shown = [1] * k, [1] * k, [0] * k
    conversions = 0
    for _ in range(visitors):
        draws = [rng.betavariate(alpha[i], beta[i]) for i in range(k)]
        j = draws.index(max(draws))
        shown[j] += 1
        if rng.random() < true_rates[j]:
            alpha[j] += 1
            conversions += 1
        else:
            beta[j] += 1
    return conversions, shown

print(thompson([0.03, 0.05, 0.04], 10_000))

Attribution und Mix Modelle beantworten verschiedene Fragen

Attribution fragt, welcher Kontaktpunkt den Verdienst an einer Conversion bekommt, von unten nach oben aus verfolgten Customer Journeys. Marketing Mix Modelling (MMM) fragt, wie viel jeder Kanal zum Gesamtumsatz beigetragen hat, von oben nach unten mit einer Regression auf Wochensummen, und verfolgt keine einzelnen Personen.

Beispiel: eine Customer Journey, fünf Antworten

Ein erfundener Kunde kommt nacheinander über Paid Search, E Mail, Social, Direct und Retargeting und bestellt dann für 100 €.

Modell	Paid Search	E Mail	Social	Direct	Retargeting
Last Click	0 €	0 €	0 €	0 €	100 €
First Click	100 €	0 €	0 €	0 €	0 €
Linear	20 €	20 €	20 €	20 €	20 €
Zeitverfall (Halbierung)	3,23 €	6,45 €	12,90 €	25,81 €	51,61 €
Positionsbasiert (40, 20, 40)	40 €	6,67 €	6,67 €	6,67 €	40 €

Der Zeitverfall halbiert hier das Gewicht für jeden Schritt zurück: Die Gewichte sind $\tfrac{1}{16}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, 1$, zusammen 1,9375, also bekommt Retargeting $100 / 1{,}9375 = 51{,}61$ Euro. Dieselbe Customer Journey, fünf Budgets.

Zwei Korrekturen an der früheren Fassung. Google unterstützt in Google Ads die Modelle First Click, Linear, Zeitverfall und Positionsbasiert nicht mehr und hat sie im November 2023 aus Google Analytics 4 entfernt, übrig sind datengetriebene Attribution und Last Click. GA4 gibt direkten Besuchen außerdem keinen Verdienst, außer der ganze Pfad ist direkt.⁸⁹ Und "Cookies sterben" braucht Vorsicht: Safari blockiert Third Party Cookies standardmäßig seit 2020,¹⁰ Google hat aber im April 2025 erklärt, sie in Chrome unter der Wahl der Nutzer zu behalten.¹¹ Der Druck auf die Attribution kommt von Einwilligung und Datenschutz im Browser, nicht von einem Abschalttermin. Deshalb sind Mix Modelle zurück, mit Open Source Werkzeugen von Google (Meridian) und Meta (Robyn).¹²¹³ Im Kern ist ein Mix Modell eine Regression:

$$y_t = \beta_0 + \sum_{k=1}^{K} \beta_k x_{k,t} + \varepsilon_t$$

Dabei ist $y_t$ der Umsatz in Woche $t$, $\beta_0$ der Grundumsatz, den du ohne Marketing hättest, $x_{k,t}$ das Budget für Kanal $k$ in Woche $t$, $\beta_k$ der Umsatz, den jeder Euro auf Kanal $k$ zurückbringt, $K$ die Zahl der Kanäle und $\varepsilon_t$ alles, was das Modell nicht erklärt. Echte Modelle ergänzen Nachwirkung (Adstock), Sättigung und Saisonalität. Grundlagen: Regression

Beispiel: ein Mix Modell lesen

Ein erfundener Münchner Händler für Wohnaccessoires passt das Modell an zwei Jahre Wochendaten an und bekommt einen Grundumsatz von 200.000 € pro Woche und Erträge von 2,50 € pro Euro für TV, 4,00 € für Digital, 3,00 € für Social und 1,50 € für Print. Eine Woche mit 30.000 € TV, 17.500 € Digital, 8.500 € Social und 4.500 € Print ergibt:

$$200.000 + 2{,}5 \times 30.000 + 4{,}0 \times 17.500 + 3{,}0 \times 8.500 + 1{,}5 \times 4.500 = 377.250$$

Also $\hat{y} = 377.250$ Euro. Digital sieht am besten aus, aber das sind durchschnittliche Erträge. Der nächste Euro bringt vielleicht viel weniger, deshalb ergänzen echte Modelle Sättigungskurven. Grundlagen: Grenzwert und Durchschnitt

Potenzgesetze heißen, dass es deinen Durchschnittskunden nicht gibt

Der Wert von Kunden ist meist schief verteilt: Wenige große Kunden bringen einen großen Teil des Umsatzes. Ein Potenzgesetz beschreibt das, die Wahrscheinlichkeit eines Werts über $x$ fällt mit einer Potenz von $x$:

$$P(X > x) \propto x^{-\alpha}$$

Dabei ist $X$ der Wert eines Kunden, $x$ eine Schwelle in Euro, $\alpha$ die Form (kleiner heißt ein schwererer Rand und extremere Kunden), und $\propto$ bedeutet "proportional zu". Die Wahrscheinlichkeit schrumpft viel langsamer als bei einer Normalverteilung, also sind sehr große Kunden viel häufiger, als eine Glockenkurve nahelegt. Grundlagen: Verteilungen

Die Paretoverteilung ist das Standardbeispiel:¹⁴

$$f(x) = \frac{\alpha\, x_m^{\alpha}}{x^{\alpha + 1}}, \qquad x \ge x_m$$

Dabei ist $f(x)$ die Dichte beim Wert $x$, $x_m$ der kleinstmögliche Wert und $\alpha$ die Form wie oben. Für $\alpha > 1$ ist der Mittelwert $\alpha x_m / (\alpha - 1)$. Grundlagen: Verteilungen

Ihre Lorenzkurve gibt den Anteil am Umsatz an, der vom obersten Anteil der Kunden kommt:¹⁴

$$H(p) = p^{\,1 - 1/\alpha}$$

Dabei ist $p$ der oberste Anteil der Kunden (0,01 für das oberste 1 %), $\alpha$ die Form von oben und $H(p)$ ihr Anteil am Gesamtumsatz. Grundlagen: Verteilungen

Beispiel: Paretokunden mit einem Boden von 50 €

Nimm für das Beispiel an, die Kundenwerte folgen einer Paretoverteilung mit $x_m = 50$ Euro und $\alpha = 1{,}5$.

1. Mittelwert: $1{,}5 \times 50 / 0{,}5 = 150$ Euro. Median: $50 \times 2^{1/1{,}5} = 79$ Euro. Der Mittelwert ist fast doppelt so hoch wie der typische Kunde.
2. Der Exponent: $1 - 1/1{,}5 = 1/3$.
3. Oberstes 1 %: $0{,}01^{1/3} = 0{,}215$, also 21,5 % des Umsatzes. Oberste 10 %: 46,4 %. Oberste 20 %: 58,5 %.
4. Die Hälfte des Umsatzes kommt von den obersten $0{,}5^{3} = 12{,}5\,\%$ der Kunden.

Die waagrechte Achse zeigt den obersten Anteil der Kunden, die senkrechte ihren Anteil am Umsatz. Mit dieser Form bringt ein Fünftel der Kunden deutlich mehr als die Hälfte des Umsatzes, also verdient dieses Fünftel ein eigenes Budget für Bindung und eine eigene Grenze für die CAC.

Die frühere Fassung sagte, 1 % der Kunden bringe "oft" 50 % des Umsatzes. Als allgemeine Regel konnte ich das nicht belegen, und die Formel zeigt, wie extrem das wäre: Es braucht eine Form von etwa 1,18. Miss deine eigene, und schätze $\alpha$ mit Maximum Likelihood, nicht mit einer Geraden durch ein doppelt logarithmisches Diagramm, was laut Clauset, Shalizi und Newman stark danebenliegen kann.¹⁵

Die Preiselastizität sagt dir, ob sich eine Preiserhöhung lohnt

Erhöhe den Preis um 10 %, und manche Kunden gehen. Ob es 5 % oder 20 % sind, entscheidet, ob der Umsatz steigt. Die Preiselastizität der Nachfrage gibt dem eine Zahl.¹⁶ Die Seite der Regression steht in Nachfrage und Preiselastizität mit Regression modellieren, und dynamische Preisgestaltung mit KI zeigt, wohin das führt.

$$\varepsilon = \frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P}$$

Dabei ist $\varepsilon$ die Elastizität, $\%\Delta Q$ die prozentuale Veränderung der verkauften Menge und $\%\Delta P$ die prozentuale Veränderung des Preises. Sie ist meist negativ. Ist $|\varepsilon| > 1$, ist die Nachfrage elastisch, und eine Preiserhöhung senkt den Umsatz. Ist $|\varepsilon| < 1$, ist sie unelastisch, und eine Erhöhung steigert den Umsatz. Grundlagen: Elastizität

An einem einzelnen Punkt der Nachfragekurve:

$$\varepsilon = \frac{dQ}{dP} \times \frac{P}{Q}$$

Dabei ist $dQ/dP$ die Steigung der Nachfragekurve, und $P$ und $Q$ sind der aktuelle Preis und die aktuelle Menge. Für eine gerade Nachfragekurve $Q = a - bP$ ist die Steigung $-b$, also $\varepsilon = -bP/(a - bP)$, wobei $a$ die Menge bei einem Preis von null ist und $b$ die Einheiten, die pro Euro verloren gehen. Grundlagen: Elastizität

Beispiel: 10 % mehr für eine Buchhaltungsapp

Belegklar (belegklar.example) ist eine erfundene Buchhaltungsapp aus Dresden mit 1.000 Kunden zu 99 € im Monat. Sie überlegt 108,90 €, eine Erhöhung um 10 %. Der Umsatz verändert sich um $1{,}1 \times (1 + 0{,}1\,\varepsilon) - 1$:

Elastizität	Kunden	Umsatz
$-0{,}5$	minus 5 %	plus 4,5 %
$-1{,}0$	minus 10 %	minus 1,0 %
$-1{,}5$	minus 15 %	minus 6,5 %
$-2{,}5$	minus 25 %	minus 17,5 %

Eine Korrektur an der früheren Fassung: Bei genau $-1$ bleibt der Umsatz nur bei einer winzigen Änderung gleich. Bei einem Schritt von 10 % fällt er um 1 %, weil $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$.

Nimm jetzt an, die Nachfrage von Belegklar ist die Gerade $Q = 2.000 - 10P$. Bei 99 €: $Q = 2.000 - 990 = 1.010$ und $\varepsilon = -10 \times 99 / 1.010 = -0{,}98$. Der Umsatz ist dort am höchsten, wo die Elastizität genau $-1$ ist, bei $P = a/(2b) = 2.000/20 = 100$ Euro. 99 € liegen also nah am Umsatzmaximum, und eine Erhöhung um 10 % würde darüber hinausschießen.

Von der Elastizität zum Preis

Die frühere Fassung gab $\Delta P / P = 1/(|\varepsilon| - 1)$ als umsatzmaximierende Preisänderung an. Diese Formel ist falsch: Bei konstanter Elastizität über 1 senkt jede Preiserhöhung den Umsatz. Was gilt, wenn du die Grenzkosten kennst, ist die Aufschlagsregel für den maximalen Gewinn, der Lerner Index:¹⁷

$$\frac{P - MC}{P} = \frac{1}{|\varepsilon|} \quad\Longleftrightarrow\quad P^{*} = MC \times \frac{|\varepsilon|}{|\varepsilon| - 1}$$

Dabei ist $P$ der Preis, $MC$ die Grenzkosten, einen Kunden mehr zu bedienen, $|\varepsilon|$ der Betrag der Elastizität (er muss über 1 liegen) und $P^{*}$ der gewinnmaximierende Preis. Grundlagen: Grenzwert und Durchschnitt

Ein Beispiel: Grenzkosten von 20 € im Monat und eine Elastizität von $-1{,}5$ ergeben $P^{*} = 20 \times 1{,}5 / 0{,}5 = 60$ Euro. Probe: $(60 - 20)/60 = 0{,}667 = 1/1{,}5$.

Aus deiner eigenen Preishistorie ist die Elastizität die Steigung einer doppelt logarithmischen Regression. Grundlagen: Logarithmen

import math

def elasticity(prices, quantities):
    lp = [math.log(p) for p in prices]
    lq = [math.log(q) for q in quantities]
    mp, mq = sum(lp) / len(lp), sum(lq) / len(lq)
    num = sum((x - mp) * (y - mq) for x, y in zip(lp, lq))
    den = sum((x - mp) ** 2 for x in lp)
    return num / den

Stattdessen die Kundschaft fragen: das Van Westendorp Modell

Wenn du keine Preishistorie hast, stellt der Price Sensitivity Meter von Peter van Westendorp (1976) vier Fragen: Ab welchem Preis wäre es so niedrig, dass du an der Qualität zweifelst, ab wann ist es ein Schnäppchen, ab wann wird es teuer, und ab wann ist es zu teuer, um es in Betracht zu ziehen.¹⁸ Wo sich die kumulierten Kurven schneiden, ergibt sich ein Bereich akzeptabler Preise: "zu niedrig" gegen "kein Schnäppchen" markiert die Untergrenze, "zu teuer" gegen "nicht teuer" die Obergrenze. Das misst, was Menschen sagen, nicht, was sie tun, also teste den Bereich. Die psychologische Seite steht in Pricing Psychologie.

Bindung wird über die Zeit zu Gewinn

Die meistzitierte Zahl zur Kundenbindung stammt von Frederick Reichheld und Earl Sasser aus dem Jahr 1990: In den Dienstleistungsbranchen, die sie untersucht haben, hob eine Senkung der Kundenabwanderung um 5 % den Gewinn um 25 % bis 85 %.¹⁹ Die Zahl, die später aus Reichhelds Arbeit bei Bain zitiert wird, lautet 25 % bis 95 %.²⁰ Ihre Erklärung: Die Akquise wird einmal bezahlt, die Käufe wachsen, die Betriebskosten fallen, und treue Kunden empfehlen weiter (Empfehlungen haben ihren eigenen Artikel).¹⁹

Zwei Warnungen. Die Zahlen stammen aus bestimmten Branchen im Jahr 1990, lies sie also als "groß", nicht als Prognose. Und "5 %" ist mehrdeutig, wie das Beispiel zeigt.

Der Wert besserer Bindung, mit Abzinsung:

$$\Delta LTV = \sum_{t=0}^{T} \frac{M \left(r_{\text{new}}^{\,t} - r_{\text{old}}^{\,t}\right)}{(1+d)^{t}}$$

Dabei ist $\Delta LTV$ der Zuwachs an Customer Lifetime Value pro Kunde, $t$ zählt die Perioden von 0 bis zum Horizont $T$, $M$ ist der Rohertrag pro Periode ($ARPU \times m$), $r_{\text{old}}$ und $r_{\text{new}}$ sind die Bindungsraten vorher und nachher, also ist $r^{t}$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde in Periode $t$ noch da ist, und $d$ ist der Abzinsungssatz pro Periode. Grundlagen: Abzinsung

Ohne Abzinsung und ohne Horizont vereinfacht sich das zu:

$$\Delta LTV = M \left(\frac{1}{1 - r_{\text{new}}} - \frac{1}{1 - r_{\text{old}}}\right)$$

Dabei ist $M$ der Rohertrag pro Periode und $1/(1 - r)$ die erwartete Lebensdauer in Perioden bei einer Bindungsrate $r$. Die frühere Fassung hat die Marge weggelassen. Grundlagen: Customer Lifetime Value

Beispiel: warum die Spanne so groß ist

Ein erfundenes Abo mit 100 € ARPU und 80 % Marge, also $M = 80$ Euro im Monat, und 400 € CAC.

1. Bei 5 % Kündigungsrate: $LTV = 80 / 0{,}05 = 1.600$ Euro, Gewinn pro Kunde $1.600 - 400 = 1.200$.
2. Die Kündigungsrate fällt um 5 % ihrer selbst, auf 4,75 %: $LTV = 80 / 0{,}0475 = 1.684$, Gewinn 1.284. Das sind plus 7 %.
3. Die Kündigungsrate fällt um einen Punkt, auf 4 %: $LTV = 2.000$, Gewinn 1.600. Plus 33 %.
4. Starte stattdessen bei 10 % Kündigungsrate und senke um fünf Punkte auf 5 %: $LTV$ steigt von 800 auf 1.600 und der Gewinn von 400 auf 1.200. Plus 200 %.

Dieselben "5 %" heißen plus 7 % oder plus 200 %. Die festen CAC sind der Hebel: Ein LTV von 800 € auf 1.000 € bei 400 € CAC hebt den Gewinn von 400 € auf 600 €, plus 50 % aus plus 25 % LTV.

Die waagrechte Achse zeigt die monatliche Bindungsrate, die senkrechte den Customer Lifetime Value ohne Abzinsung. Entscheidend ist die Form: Von 95 % auf 97 % Bindung steigt der Customer Lifetime Value von 1.600 € auf 2.667 €, plus 67 % für zwei Punkte. Jeder Punkt ist mehr wert als der vorige.

Abgezinst mit 10 % im Jahr über 60 Monate ist derselbe Kunde bei 95 % Bindung 1.351 € wert und bei 96 % 1.591 €. Die Abzinsung macht die Zahlen kleiner, nicht die Form.

Mathematik ist keine Kür

LTV zu CAC sagt, ob sich Wachstum lohnt, die Amortisation, ob du es dir leisten kannst. Kohorten und Überlebenskurven zeigen, was Durchschnitte verstecken. Bayessche Tests und Bandits machen aus Experimenten Entscheidungen. Attribution verteilt den Verdienst auf Customer Journeys, Mix Modelle auf Kanäle. Potenzgesetze machen den Durchschnittskunden zur Fiktion, die Elastizität entscheidet, ob sich eine Preiserhöhung lohnt, und Bindung wächst mit der Zeit.

Ich habe jedes Konzept hier im eCommerce, im SaaS und bei B2B Produkten angewendet. Es ist der Werkzeugkasten, mit dem ich über Millionen Euro an Marketingbudget und Produktinvestitionen entscheide. Fang mit der einen Zahl an, von der deine nächste Entscheidung abhängt.

Footnotes

1. David Skok, SaaS Metrics 2.0: A Guide to Measuring and Improving What Matters, For Entrepreneurs, https://www.forentrepreneurs.com/saas-metrics-2/

2. Cameron Davidson Pilon und die Mitwirkenden von lifelines, Introduction to survival analysis (Überlebensfunktion, Hazardfunktion, Zensierung), Dokumentation von lifelines, https://lifelines.readthedocs.io/en/latest/Survival%20Analysis%20intro.html

3. Cameron Davidson Pilon und die Mitwirkenden von lifelines, Survival analysis with lifelines (Kaplan Meier Schätzung, Log Rank Test), Dokumentation von lifelines, https://lifelines.readthedocs.io/en/latest/Survival%20analysis%20with%20lifelines.html

4. Evan Miller, How Not To Run an A/B Test, 2010, https://www.evanmiller.org/how-not-to-run-an-ab-test.html

5. David Robinson, Is Bayesian A/B Testing Immune to Peeking? Not Exactly, Variance Explained, 2015, http://varianceexplained.org/r/bayesian-ab-testing/

6. Wikipedia, Thompson sampling (Geschichte: William R. Thompson, Biometrika, 1933), https://en.wikipedia.org/wiki/Thompson_sampling

7. Daniel Russo, Benjamin Van Roy, Abbas Kazerouni, Ian Osband und Zheng Wen, A Tutorial on Thompson Sampling, Foundations and Trends in Machine Learning 11(1), 2018, https://arxiv.org/abs/1707.02038

8. Google, About attribution models, Google Ads Hilfe, https://support.google.com/google-ads/answer/6259715

9. Google, Get started with attribution (Attributionsmodelle), Google Analytics Hilfe, https://support.google.com/analytics/answer/10596866

10. John Wilander, Full Third Party Cookie Blocking and More, WebKit Blog, 24. März 2020, https://webkit.org/blog/10218/full-third-party-cookie-blocking-and-more/

11. Anthony Chavez, Next steps for Privacy Sandbox and tracking protections in Chrome, Google Privacy Sandbox, 22. April 2025, https://privacysandbox.google.com/blog/privacy-sandbox-next-steps

12. Google, Meridian, ein Open Source Marketing Mix Modell, Google for Developers, https://developers.google.com/meridian

13. Meta Marketing Science, Robyn, ein Open Source Paket für Marketing Mix Modelling, https://facebookexperimental.github.io/Robyn/

14. Wikipedia, Pareto distribution (Dichte, Mittelwert, Lorenzkurve), https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution

15. Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi und M. E. J. Newman, Power law distributions in empirical data, SIAM Review 51(4), 2009, https://arxiv.org/abs/0706.1062

16. OpenStax, Principles of Economics 3e, 5.1 Price Elasticity of Demand and Price Elasticity of Supply, https://openstax.org/books/principles-economics-3e/pages/5-1-price-elasticity-of-demand-and-price-elasticity-of-supply

17. Wikipedia, Lerner index (Abba Lerner, 1934), https://en.wikipedia.org/wiki/Lerner_index

18. Wikipedia, Van Westendorp's Price Sensitivity Meter, https://en.wikipedia.org/wiki/Van_Westendorp%27s_Price_Sensitivity_Meter

19. Frederick F. Reichheld und W. Earl Sasser Jr., Zero Defections: Quality Comes to Services, Harvard Business Review, September bis Oktober 1990, https://hbr.org/1990/09/zero-defections-quality-comes-to-services

20. Amy Gallo, The Value of Keeping the Right Customers, Harvard Business Review, 2014, https://hbr.org/2014/10/the-value-of-keeping-the-right-customers